Математические основы теории симетрии - Голод П.И.
Скачать (прямая ссылка):
С помощью разложения (3.15) легко получить действие оператора ad В на вектор А в локальных координатах:
п п
5>d В)У = Ajbkа\ i=i fc.j'=i
откуда видно, что [А, В] = — [В, А] и выполняется тождество Якоби
[[Л, В], С] + [[В, С], А] + [[С, Л], В] =0.
Таким образом, мы показали, что пространство Te(G) вместе с операцией А, В (ad А)В = [Л, В] является алгеброй Ли. Ее называют алгеброй Ли группы Ли G и обозначают через 0e(G).
Установленная связь между группой Ли G и ее алгеброй Ли ?e(G) дает возможность описывать те или иные свойства группы в терминах ее алгебры Ли. Например, ясно, что абелевой группе Ли соответствует коммутативная алгебра Ли. Если H — подгруппа Ли в группе Ли G (то есть является подгруппой абстрактной группы G и топологической группой), то Qe(H) — подалгебра Ли в Qe(G). Если H — инвариантная подгруппа Ли, то есть gHgС Н, g Є G, то Qe(H) — идеал в Be(G).158 Глава 2,
Утверждение 2. Пусть Ф — гомоморфизм группы Jlu G в группу JIu G'. Тогда его дифференциал ?>Ф осуществляет гомоморфизм алгебры JIu ge(G) в алгебру JIu Qe(G)'-
Доказательство. Напомним, что гомоморфизм Ф групп Ли — это гомоморфизм абстрактных групп и аналитическое отображение соответствующих многообразий. Пусть ?>Ф: Te(G) —>¦ Те<(Gr) — дифференциал отображения Ф. Тогда согласно определения
(ВФ о (AdgA))f = JtfmggAtfg-1))^ =
= ?/(Ф(ё)Ф(ёА(т))Ф(ё-1))\т^о = (Ad»w о БФ О А) f.
Если g = g?(<r), то Ф(ёв(<т)) = (Фg)B'(v), где В' = DQ о В. Учитывая это, имеем
(?>Ф) о [В, А] = (?>Ф) о ((ad В)А) =
= ?(№) о Ade WA)U=0 = ?(Ad$(№ W) о (?>Ф)А)и=0 -
= (ad ((БФ)В))(БФ)А = [(ЮФ)В, (?>Ф)А].
Утверждение доказано.
3.2г. Присоединенное представление алгебры Ли и билинейная форма Киллинга. Определенные выше операторы Adir и ad Л в касательном пространстве Te(G) играют важную роль в изучении структуры групп и алгебр Ли. Непосредственно с определений этих операторов вытекает, что
(AdirKad AXAdJ1) = ad (AdirA). (3.17)
Действительно,
((AdirKadA)(AdJ1)C)/ =
= ? {?f^)gc(r)g-A}(.))[J
= (M(AdirA))C)/,
<r=0
где А' = Ad„A.§ 3. Локальное исследование групп Ли
159
Перепишем соотношение (3.17) в виде (Adff) (ad Л) = ad (AdffA)(Adff) и подействуем правой и левой частями этого равенства на произвольный вектор В Є ge(G). Получаем
Adg[A,B] = [AdffA, AdffB].
Это соотношение означает, что преобразование Adff является автоморфизмом алгебры Ли Qe(G).
Линейный оператор ad А можно построить не только в касательном пространстве к группе Ли, айв любой абстрактной алгебре Ли 0, где операция Ли А, В —ї [А, В] задана a priori. Сопоставим элементу А є g линейный оператор ad А, действующий по формуле
(ad А) Б = [А, В].
Из тождества Якоби следует, что
ad [А, В] = (ad A)(ad J3) - (ad В)(ad А),
то есть отображение А —> ad А является гомоморфизмом абстрактной алгебры Ли 0 в алгебру линейных преобразований пространства 0. Этот гомоморфизм называют присоединенным представлением алгебры Ли 0 .
Используем соответствие А —t ad А для того, чтобы определить инвариантную билинейную форму в пространстве 0. Симметрическая билинейная форма
B(X,Y) = Tr (ad X) (ad У), Х,УЄ0,
на пространстве 0 называется формой Киллинга.
Для формы B(X,Y) выполняется соотношение «инвариантности» относительно присоединенного представления Z —>• —>ad Z алгебры 0. То есть,
?((ad Z)X, Y) + В(Х, (ad Z)Y) = 0. (3.18)
Соотношение (3.18) является прямым следствием тождества Якоби и свойств следа.
Если 0 является алгеброй Ли группы G, то определен оператор Adff- В этом случае (3.18) является следствием настоящего свойства Ad-инвариантности
B(AdffXjAdffV) = B(X,Y).
(3.19)160 Глава 2,
Последнее свойство легко получить, воспользовавшись формулой (3.17).
Если в алгебре Ли g (не обязательно связанной с группой Ли) фиксировать базис Xi,...,Xn, а следовательно,
и структурные константы с1-к, то для векторов X = ^ar1Xj
і
и Y = Y^ytYi из 0 получаем і
B(XtY) = E = ЕйЯ'У5-
где gij = Y сйс\к- Тензор gij называют метрическим тензорі
ром алгебры Ли 0.
3.3. Алгебра Ли векторных полей. Среди векторных полей на группе Ли размерности п существует п линейно независимых полей, допускающих глобальный поток и замкнутых относительно операции коммутирования. Это левоин-вариантные (правоинвариантные) векторные поля.
Левоинвариантное векторное поле определяется как отображение Af. C00(G) -> C00(G), действуюшее на функции F є C00(G) согласно формуле
ALF(g) = AF{ggA(T))
(ІТ т=О
где, как и в предыдущем пункте, т -> gA(i~) — кривая, проходящая через единицу группы и имеющая касательным вектором вектор А.
В локальных координатах (t'(g')} имеем
2 F(fr) = V 9jXg^(T)) OfHgigA(T)) dti(gA(r)) L ^1OfHbgA(T)) OtHgA(T)) dT
x=o
Заметим, что f'(g,gA(r)) = t't(f(g,gA(T))), где штрих означает, что элемент gg4(r) не обязательно принадлежит локальной карте окрестности единицы. Учитывая сказанное и используя обозначение (3.5), приводим предыдущую формулу к виду
A,F(g) = ±L'(g)a^y (3.20)§ 3. Локальное исследование групп Ли 161