Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Голод П.И. -> "Математические основы теории симетрии" -> 47

Математические основы теории симетрии - Голод П.И.

Голод П.И., Климык А.У. Математические основы теории симетрии — Москва, 2001. — 528 c.
Скачать (прямая ссылка): matematosnoviteorsimetr2001.djvu
Предыдущая << 1 .. 41 42 43 44 45 46 < 47 > 48 49 50 51 52 53 .. 154 >> Следующая


С помощью разложения (3.15) легко получить действие оператора ad В на вектор А в локальных координатах:

п п

5>d В)У = Ajbkа\ i=i fc.j'=i

откуда видно, что [А, В] = — [В, А] и выполняется тождество Якоби

[[Л, В], С] + [[В, С], А] + [[С, Л], В] =0.

Таким образом, мы показали, что пространство Te(G) вместе с операцией А, В (ad А)В = [Л, В] является алгеброй Ли. Ее называют алгеброй Ли группы Ли G и обозначают через 0e(G).

Установленная связь между группой Ли G и ее алгеброй Ли ?e(G) дает возможность описывать те или иные свойства группы в терминах ее алгебры Ли. Например, ясно, что абелевой группе Ли соответствует коммутативная алгебра Ли. Если H — подгруппа Ли в группе Ли G (то есть является подгруппой абстрактной группы G и топологической группой), то Qe(H) — подалгебра Ли в Qe(G). Если H — инвариантная подгруппа Ли, то есть gHgС Н, g Є G, то Qe(H) — идеал в Be(G). 158 Глава 2,

Утверждение 2. Пусть Ф — гомоморфизм группы Jlu G в группу JIu G'. Тогда его дифференциал ?>Ф осуществляет гомоморфизм алгебры JIu ge(G) в алгебру JIu Qe(G)'-

Доказательство. Напомним, что гомоморфизм Ф групп Ли — это гомоморфизм абстрактных групп и аналитическое отображение соответствующих многообразий. Пусть ?>Ф: Te(G) —>¦ Те<(Gr) — дифференциал отображения Ф. Тогда согласно определения

(ВФ о (AdgA))f = JtfmggAtfg-1))^ =

= ?/(Ф(ё)Ф(ёА(т))Ф(ё-1))\т^о = (Ad»w о БФ О А) f.

Если g = g?(<r), то Ф(ёв(<т)) = (Фg)B'(v), где В' = DQ о В. Учитывая это, имеем

(?>Ф) о [В, А] = (?>Ф) о ((ad В)А) =

= ?(№) о Ade WA)U=0 = ?(Ad$(№ W) о (?>Ф)А)и=0 -

= (ad ((БФ)В))(БФ)А = [(ЮФ)В, (?>Ф)А].

Утверждение доказано.

3.2г. Присоединенное представление алгебры Ли и билинейная форма Киллинга. Определенные выше операторы Adir и ad Л в касательном пространстве Te(G) играют важную роль в изучении структуры групп и алгебр Ли. Непосредственно с определений этих операторов вытекает, что

(AdirKad AXAdJ1) = ad (AdirA). (3.17)

Действительно,

((AdirKadA)(AdJ1)C)/ =

= ? {?f^)gc(r)g-A}(.))[J

= (M(AdirA))C)/,

<r=0

где А' = Ad„A. § 3. Локальное исследование групп Ли

159

Перепишем соотношение (3.17) в виде (Adff) (ad Л) = ad (AdffA)(Adff) и подействуем правой и левой частями этого равенства на произвольный вектор В Є ge(G). Получаем

Adg[A,B] = [AdffA, AdffB].

Это соотношение означает, что преобразование Adff является автоморфизмом алгебры Ли Qe(G).

Линейный оператор ad А можно построить не только в касательном пространстве к группе Ли, айв любой абстрактной алгебре Ли 0, где операция Ли А, В —ї [А, В] задана a priori. Сопоставим элементу А є g линейный оператор ad А, действующий по формуле

(ad А) Б = [А, В].

Из тождества Якоби следует, что

ad [А, В] = (ad A)(ad J3) - (ad В)(ad А),

то есть отображение А —> ad А является гомоморфизмом абстрактной алгебры Ли 0 в алгебру линейных преобразований пространства 0. Этот гомоморфизм называют присоединенным представлением алгебры Ли 0 .

Используем соответствие А —t ad А для того, чтобы определить инвариантную билинейную форму в пространстве 0. Симметрическая билинейная форма

B(X,Y) = Tr (ad X) (ad У), Х,УЄ0,

на пространстве 0 называется формой Киллинга.

Для формы B(X,Y) выполняется соотношение «инвариантности» относительно присоединенного представления Z —>• —>ad Z алгебры 0. То есть,

?((ad Z)X, Y) + В(Х, (ad Z)Y) = 0. (3.18)

Соотношение (3.18) является прямым следствием тождества Якоби и свойств следа.

Если 0 является алгеброй Ли группы G, то определен оператор Adff- В этом случае (3.18) является следствием настоящего свойства Ad-инвариантности

B(AdffXjAdffV) = B(X,Y).

(3.19) 160 Глава 2,

Последнее свойство легко получить, воспользовавшись формулой (3.17).

Если в алгебре Ли g (не обязательно связанной с группой Ли) фиксировать базис Xi,...,Xn, а следовательно,

и структурные константы с1-к, то для векторов X = ^ar1Xj

і

и Y = Y^ytYi из 0 получаем і

B(XtY) = E = ЕйЯ'У5-

где gij = Y сйс\к- Тензор gij называют метрическим тензорі

ром алгебры Ли 0.

3.3. Алгебра Ли векторных полей. Среди векторных полей на группе Ли размерности п существует п линейно независимых полей, допускающих глобальный поток и замкнутых относительно операции коммутирования. Это левоин-вариантные (правоинвариантные) векторные поля.

Левоинвариантное векторное поле определяется как отображение Af. C00(G) -> C00(G), действуюшее на функции F є C00(G) согласно формуле

ALF(g) = AF{ggA(T))

(ІТ т=О

где, как и в предыдущем пункте, т -> gA(i~) — кривая, проходящая через единицу группы и имеющая касательным вектором вектор А.

В локальных координатах (t'(g')} имеем

2 F(fr) = V 9jXg^(T)) OfHgigA(T)) dti(gA(r)) L ^1OfHbgA(T)) OtHgA(T)) dT

x=o

Заметим, что f'(g,gA(r)) = t't(f(g,gA(T))), где штрих означает, что элемент gg4(r) не обязательно принадлежит локальной карте окрестности единицы. Учитывая сказанное и используя обозначение (3.5), приводим предыдущую формулу к виду

A,F(g) = ±L'(g)a^y (3.20) § 3. Локальное исследование групп Ли 161
Предыдущая << 1 .. 41 42 43 44 45 46 < 47 > 48 49 50 51 52 53 .. 154 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed