Математические основы теории симетрии - Голод П.И.
Скачать (прямая ссылка):
Правоинвариантное векторное поле Ar определяется аналогично; это отображение Ar: Coc(G) —>¦ Coc(G), действующее на функции F Є C00(G) согласно формуле
ArF(S) = -?F(gA(T)g) В локальных координатах оно имеет вид
т=0
ARF(g) =Yj Eii(S)Ui^ (3.21)
Матрицы L)(s) = L)(s,e) и R)(g) = R)(e,g) в формулах (3.20) и (3.21) являются локальными представителями глобальных объектов — дифференциалов левого и правого сдвигов на группе. Учитывая это, определим левоинвари-антные (правоинвариантные) векторные поля как Ф-связные поля, причем в роли отображения Ф будет служить диффеоморфизм левого (правого) сдвига, то есть левоинвариантным полем назовем векторное поле, для которого выполняются соотношения
Al(F О Lgl)(s) = ((DLgl )AL)F(glg). (3.22) Аналогичное соотношение имеет место для Ar. Мы имеем Mg) = (DLg)A, AR(g) = (DRg)A.
Выражение (3.22) является глобальным вариантом формулы (3.20). Касательный вектор А Є Te, заданный в локальных координатах набором чисел а1,а2,... ,а", называют направляющим вектором соответствующего поля.
Левоинвариантное векторное поле в классическом понимании — это набор функций a\ (g) на группе G, для которого выполняется соотношение
atigig) = ? = Enteis, g)a{(g).
i=i ^g' J=I
Именно такое свойство имеют коэффициенты дифференциального оператора в формуле (3.20). Действительно, принимая 162
Глава 2,
во внимание, что
L)(glg) = е) = ? Ljteig? g)LkAg-, е),
к
для функций Y Ц (gig)a3 = a* (gig) получаем закон преоб-
разования классического левоинвариантного векторного поля. Аналогичные определения имеют место для правоинвариант-ного векторного поля.
Утверждение 3. Коммутатор лееоинвариантных (пра-воинвариантных) векторных полей Al и Bl с направляющими векторами А и В из Te(G) является левоинвариантным (правоинвариантным) векторным полем Cl с направляющим вектором С = [А, В].
Доказательство. Вычислим коммутатор векторных полей Al и Bl в фиксированных локальных координатах:
Заменяя производные от матричных элементов матрицы (Llj(g)) производными от обратной матрицы и используя условие интегрируемости (3.10), получаем
где левоинвариантное поле Cl имеет направляющий вектор С с координатами с1 = Yctjka^k- Таким образом, локальный
вариант утверждения 3 доказан.
Для глобализации соотношения (3.23) воспользуемся определением левоинвариантного поля как Ф-связного поля. Тогда согласно (3.22) имеем
j
п
AL(BL(foLgl))(g) = (DLei)AL((DLg)BLf)(gig),
откуда получаем
[AL,BL}(foLgl)(g) = {(DLei)[AL,BL])f(glg). § 3. Локальное исследование групп Ли
163
То есть коммутатор Lg-связных полей является /^-связным полем. Утверждение доказано.
Из утверждения 3 вытекает, что левоинвариантные (правоинвариантные) векторные поля образуют алгебру JIu (обозначим ее через ?(G)), изоморфную алгебре ?e(G) в касательном пространстве. Если в Te(G) зафиксировать базис, состоящий из векторов Xi, XiF = {^F(g)/dt1(g))g=e, то соответствующие векторные поля
Xi = YVj(S)(DIdtHg))
3=1
образуют базис в алгебре левоинвариантных векторных полей, ограниченных на окрестность Ue С G. Глобальные векторные поля получаются действием дифференциала левого сдвига: Xi = (DLg)Xi. Дуальный базис образуют дифференциальные формы Wt-. W1(Xi) = S1j. В локальных координатах g —> {i*(g)} они имеют вид
п 3-і
и совпадают с формами, определенными в п. 3.1. Воспользовавшись формулой (1.14) для внешнего дифференцирования линейной формы, легко показать, что условия интегрируемости (3.12) в форме Маурэра-Картана эквивалентны соотношению (3.23).
Заметим, что если Ф — гомоморфизм группы Ли G в группу Ли G', то согласно (1.19) его дифференциал DQ индуцирует гомоморфизм алгебр Ли левоинвариантных (право-инвариантных) векторных полей.
3.4. Однопараметрические подгруппы. Как отмечалось в §1, каждое векторное поле определяет на многообразии динамическую систему. Это касается и левоинвариантных (правоинвариантных) векторных полей. Динамическая система, соответствующая левоинвариантному векторному полю, в локальных координатах g-t {i*(g)} имеет вид
3=1
(3.24) 164
Глава 2,
и однозначно фиксируется выбором вектора А~(ах,а2,...,ап) в касательном пространстве Te(G). Решение этой системы определяет кривую т —> g(T), проходящую через единицу группы, если за начальное условие положить нулевые значения параметров i*: i*(e) = t*(g(0)) = 0.
Однопараметрической подгруппой в группе Ли G называют гомоморфизм E -> G аддитивной группы Ли E в группу G. Следующее утверждение является вариантом теоремы 1 из § 1 в случае группового многообразия.
Утверждение 4. Решением системы (3.24) с начальным условием ?*(е) = tl(g(0)) = 0 продолжается на все т Є К и определяет однопараметрическую подгруппу в G, то есть такое отображение gA: ® —> G, для которого
gA(T)gA(<r) = gA(cr)gA(T) = gA(a + т), а, т Є Ж. (3.25)
Доказательство. Установим сначала закон композиции (3.25) в локальных координатах окрестности единицы при |т| < є/2, I<т| < є/2. Для этого запишем уравнения для функций t\g(a)g{T)) и t'(g(a + т)):
