Математические основы теории симетрии - Голод П.И.
Скачать (прямая ссылка):
Trii(S) = (J11 J*) = МП, і,І = 1,2, (1.30)
принадлежат si. Их называют координатными функциями на SL(2, С). Поскольку каждый элемент из si можно представить как многочлен от gll, gl!, g2l, g22, то 7Гц, 71*12, 7Г21, 7Г22 ПОрОЖДаЮТ алгебру si. Другими словами, элементы алгебры si являются многочленами СВОИХ элементов 7Гц, 71*12, 7Г21, 7Г22, TO ЄСТЬ Є С ЛИ / € Si,
f = р(7ГЦ, 71*12, 7Г21, 7Г22).
Это значит, что
f(g) = f(gll,gl2,g21,g22) =P(*ll(g),ni2{g),ir2l(g),ir22(g))- (1.31) § 1. Алгебры Хопфа 445
Отсюда и из (1.30) вытекает, что фактически р = /. Вычислим действие коумножения Д на координатные функции тц, jri2, 7г2і, ГГ22- Из определения А вытекает, что для
(;І)є5І* 2,С), (j J) Є SLftQ
получаем
«*»»((: ї»—??- І)С *))=
faa'+bc' ab' + bd'\ , ,,
= 7rilU'+dC cb' + dd'y = 00 + =
fa b\ fa' b'\ fa b\ fa' b'\
= 7rilVc d)ni1 Vc' d')+7ri2 \c d)*21 \c' d!) =
= (Тц ® Tn + TTl2 ® T2l)
to єсть
А(7ГЦ) — JTII ® jtii + Ti2 ® т2і. С помощью таких же рассуждений находим, что
A(Tl2) = Тц ® 7Г12 + Tl2 ® T22, Д(т2і) = T2I ® Tll + T22 ® T2I, Д(т22) = T2I ® Tl2 + T22 ® T22.
Другими словами,
A(Tij) = Ti 1 ® Tij + Ti2 ® T2J. (1.32)
Поскольку А — гомоморфизм и !Гц, Т12, Т21, Т22 порождают всю алгебру А, то формула (1.32) определяет действие А на всей алгебре А.
Эти соображения можно обобщить. Пусть T — конечномерное неприводимое представление некоторой группы G матрицами (tij(g))"j=1, a Uj(g) — многочлены на G. Тогда Uj(g) є A=PolG. Найдем, как гомоморфизмы А, є и S действуют на Uj. Поскольку T(gig2) = T{gi)T(g2), то Uj(gig2) = T,tik(gi)hj(g2). Поэтому
к
согласно формуле (1.5) имеем
A(Uj) = Ytik ®tk>- (1-33)
к
446
Глава 2,
Поскольку Т(е) = І, то tij (е) = Sij и
e{tij) = Sij.
Поскольку Tig-^Tlg) = T(g)T(g~1) = T(e), то
5>»(*~1)*іу(в) = Y tik^tuj (g'1) = tij{e).
(1.34)
fc
к
Поэтому
^Sfeltfcj = YtikS(tki) = sH1-
(1.35)
к
к
1.5. Представления и копредставления алгебр Хопфа. Под представлением алгебры Хопфа понимают ее представление как ассоциативной алгебры. Коумножение Д проявляется при рассмотрении тензорных произведений представлений. Детально об этом можно прочитать в п. 2.3 ниже. Для *-алгебр как правило рассматривают +-представления. Под +-представлением понимают такое представление Т, для которого Т(а*) = Т(а)* для всех элементов а рассматриваемой +-алгебры Хопфа.
Наряду с представлениями рассматривают копредставления алгебр Хопфа. Пусть є и Д — коединица и коумножение алгебры Хопфа А, а V — линейное пространство. Линейное отображение Ti V —> V ® А, для которого
(Т о id) оТ = (id ® Д) о Т, (id ® є) о Г = id, (1.36)
то есть диаграммы
V
V®A
V® ЛОЛ
(1.37)
коммутативны, называют правым непредставлением алгебры Хопфа А в пространстве V. Пространство V называют правым § 1. Алгебры Хопфа 447
А-комодулем. В (1.37) мы отождествляем пространство V ®<С с V, полагая v ® ? = ?v, v Є V, ? Є С.
Линейное отображение Ti V -» А ® V линейного пространства V в А ® V, для которого
A®V
(1.38)
называют левым копредставлением алгебры Хопфа А в линейном пространстве V. Пространство V называют левым А-ко-модулем.
Если T — правое копредставление алгебры Хопфа А в линейном пространстве V, то для v Є V имеем
T(v) = YvJ ® aJ, vJ А- (1-39) і
Вследствие коммутативности диаграмм (1.37) можем записать
V = YvM^j), (1-40) J
Yt(vJ) ® "J = Y vi ® (1"41)
j J
Аналогичные соотношения выполняются для левых копред-ставлений.
Пусть T: V -л V ® А — правое копредставление алгебры Хопфа А. Если W — подпространство в V, такое что T(W) С С W® А, то W называют правым А-подкомодулем, а отображение TiW -*W® А правым подкопредставлением копредстав-ления TiV -л V ® А. Также просто даются определения прямой (ортогональной) суммы правых (левых) копредставлений, неприводимости и полной неприводимости копредставлений. 448
Глава 2,
Пусть T:V-*V®AviQ:W-*W®A — два правых копредставления алгебры Хопфа А. Если существует линейное обратимое отображение F из V на W, для которого диаграмма
V-> W
T
Q
FSiid
V®A W®A
коммутативна, то есть такое, что для всех г; Є V имеем
(QoF)(v) = ((F®ia)oT)(v),
то копредставления TnQ называют эквивалентными. Аналогично определяются эквивалентности левых копредставлений.
Выберем в правом А-ком одуле V, в котором реализуется копредставление Т, базис ei, е2,... , еп. Тогда
Т(єі) = Yej® tH, где tji Є А. (1.42)
і
Элементы tji алгебры Хопфа А называют матричными элементами копредставления Т. Учитывая соотношения (1-41), получаем
Y T(ej) ® tji = Y е, ® Mtji)- (1-43)
з 3
А вследствие (1.42) имеем
Y Т(ез) ® tji = Y E е* ® tW ® tH- (1-44)
j 3 к
Из (1.43) и (1.44) вытекает, что
&(tki) = YtV ® tji- (1-45)
з
Если задана п х n-матрица (Uj) с элементами из алгебры Хопфа А, то ее называют матричным копредставлением этой алгебры, если выполняются соотношения (1.45) и є(Uj) = Sij. Формулы (1.42)-(1.45) показывают, что, выбрав в правом (левом) А-комодуле V базис, получим матричное копредставление алгебры Хопфа А. §2. Квантовая алгебра {/,(sh)
