Математические основы теории симетрии - Голод П.И.
Скачать (прямая ссылка):
449
Пример 2. Пусть А = PolG — алгебра Хопфа из п. 1.2, a T — конечномерное представление группы G, задаваемое в некотором базисе пространства представления матрицей (Uj). Если Uj — многочлены на G, то (Uj) — матричное копредставление алгебры Хопфа А.
§2. Квантовая алгебра Uq(Sl2)
2.1. Квантовая алгебра U4(Sl2) и ее вещественные формы. Алгебра Ли sl(2,<C) группы SL(2, С) натягивается на базисные элементы E+, E-, Я, удовлетворяющие коммутационным соотношениям
[Н,Е+] = 2Е+, [#,?_] =-2J5L, [?+,?_]= Я. (2.1)
Элементы E+, E-, H порождают универсальную обертывающую алгебру C/(sI(2,C)) алгебры Ли st(2,C).
Зафиксируем отличное от ±1 комплексное число q = ехрт и деформируем соотношения (2.1) в соотношения
[Я, E+] = 2 Е+, [Н, E-] = -2Е-, (2.2)
Sil т g-g
где под sh тЯ понимается формальный бесконечный ряд
shтH = тЯ + |у(тЯ)3 + ^(тЯ)5 + ... ,
которое приобретает конкретное содержание при рассмотрении представлений соотношений (2.2) и (2.3). Ассоциативную алгебру с единицей, порожденную элементами Е+, E-, Я, удовлетворяющими соотношениям (2.2) и (2.3), называют деформацией (или q-деформацией) универсальной обертывающей алгебры t/(sl(2,C)). Она состоит из элементов, которые являются конечными рядами от Е+, E- и конечными и бесконечными рядами от Я.
Чтобы иметь дело только с конечными рядами от порождающих элементов, вместо E+, E-, H рассматривают порождающие элементы
E+, E-, к = qн'2 ее ехр (ЛЯ/2), к"1 = q~H!2.450 Глава 2,
Для них коммутационные соотношения (2.2) и (2.3) заменяются соотношениями
кЕ+к~х = qE+, kE_k~x = kk~l=k~lk = 1,
(2.4)
P - к~2
[Е+,Е-] = --(2.4')
Q-Q
Ассоциативную алгебру (с единицей) с порождающими элементами Е+, E-, к, кудовлетворяющими соотношениям (2.4) и (2.4'), обозначают через Uq(sl2).
Базис алгебры Uq(sl2) состоит из одночленов
E+rkmE-n, ragZ, г, п Є Z+ |J{0}.
Одночлены
E-rkmE+n, meZ, r,neZ+|J{0},
также составляют базис этой алгебры.
Введем в Uq(Si2) структуру алгебры Хопфа. Для этого умножение (а, Ь) ab в Ug(sl2) линейно распространяем до алгебраического гомоморфизма
т: Uq(Sl2) ® Uq(Sl2) Uq(sl2)
и вводим коумножение
A: Uq(Sl2) ^ Uq(Sl2) ® Uq(Sl2),
антипод S: Uq(^l2) Uq(sl2) и коединицу є: Uq(sl2) -» С согласно формулам
Д(Я±) = Е± ® q"/2 + Q~H/2 ® Е±, А(к) = к®к, (2.5) S(E±) = -A=blJSdb, S(k) = к~\ (2.6)
є(Е±) = 0, є(к) = 1, (2.7)
где берутся только верхние или только нижние знаки. Операции Д, S и є распространяются на все элементы из Uq(sl2),§2. Квантовая алгебра {/,(sh)
451
исходя из того, что А и є являются гомоморфизмами для соответствующих алгебр, a S — антигомоморфизм. Чтобы показать, что операция А может быть продолжена до гомоморфизма алгебры C9(Sl2) в алгебру Ug(Sl2) ® Uq(sI2) достаточно проверить выполнение соотношений
A(fc)A(E±)A(fc-1) = (TfcA(Ei), А(к)А(к~г) = A(AT1)A(Jc) = 1, А (к2) - А (к~2)
[А(Е+), Д(Е_)] =
Q-Q1
Предлагаем читателю произвести эту проверку. Алгебру Ug(Sl2) с введенной в нее структурой алгебры Хопфа называют квантовой алгеброй Uq(sl2).
Непосредственно проверяется, что элемент
(Q-Q 1V
из Uq(sl2) коммутирует с E+, E-, к, ки, следовательно, со всеми элементами из Uq(sl2). Его называют элементом Казимира этой алгебры. Сравнительно сложными рассуждениями (см., например, [76], теорема 45') доказывается, что если q не является корнем с единицы, то центр алгебры CZg(Sl2) порождается элементом Cg.
Пусть теперь q — корень из единицы, то есть qp = 1, р Є Z+, причем qn ф 1 для 1 ^ п < р. Считаем, что р нечетно. Ясно, что для g-числа [р] = [p]g = (qp - q~p)/(q — Q-1) имеем
We - 0.
Элементы E+, EL, кр, к~р принадлежат центру St алгебры CZ9(Sl2). Действительно, k±xEL = q*pEp_k±x = Е*к±г. Методом математической индукции показывается, что
[Е+,Е-т] = Е+Е™ - Е™Е+ = [т]Е-т~х^-—-.
Q-Q
Поскольку [р] = 0, то E+E^ = ELE+. Таким образом, EL Є . Подобным образом показывается, что EL, кр и к~р452
Глава 2,
принадлежат 3f. Доказывается (см., например, [69]), что центр 3f в этом случае порождается элементами Cq, E+, Е_, JfeP, fc"p.
С помощью введения в Uq(Sl2) »-операции определяются *-алгебры Хопфа, которые (по аналогии с классическим случаем) называют вещественными формами алгебры Uq(sI2). Формулы
к* = к, (к~х)* = к~х, El = E-, El= E+ (2.9)
при ?61 определяют структуру *-алгебры Хопфа в Uq(Bl2), выделяющую ее «компактную» вещественную форму, обозначаемую через Uq(SU2). Формулы
к* = к, (к~х)* = к~х, El = -E-, Е*_ = -E+ (2.10)
при geR определяют структуру *-алгебры Хопфа в Uq(sl2), выделяющую ее «некомпактную» вещественную форму Uq(SUi,i). Формулы
к* = к, (к~х)* = к~х, Е*+ = -E+, Е*_ = -E- (2.11)
при |q| = 1 определяют «некомпактную» вещественную форму Uq(sl2yR).
Заметим, что формулы (2.9) и (2.10) при ^Ми формулы (2.11) при |q| Ф 1 не определяют структуры *-алгебр Хопфа на Uq(Sl2).
Известно, что преобразование Кэли осуществляет изоморфизм классических алгебр Ли su(l, 1) и sl(2, R). В квантовом случае мы не можем говорить об изоморфизме *-алгебр Хопфа Uq(SUlyl) и Uq(sl2yR), поскольку они определены при различных значениях параметра q.