Математические основы теории симетрии - Голод П.И.
Скачать (прямая ссылка):
1 ч
Представления Ti, I = 0, 1, ..., не исчерпывают все
конечномерные неприводимые представления алгебры Ug(sl2). Пусть D — одно из чисел —1, і, —і, где і = л/—1. Тогда операторы
Т1ш(Е+)е'т = y/[l-m][l + m + l]e'r
П>+1>
Ті„(Е-)е'т = CJ2Vil + m][l-m + Ije^1, ТачН/'2)е'т = "<Г<п
в пространствеSji удовлетворяют соотношениям (2.18) и (2.19), а поэтому задают представление алгебры Uq(sl2). Эти представления неприводимы и попарно неэквивалентны. Можно показать (см. [76], гл. 3), что каждое конечномерное неприводимое представление алгебры Ug(sl2) эквивалентно одному из представлений Tj или Tiu.
Представления Tjw мало отличаются от представлений Tj. Поэтому ниже рассматриваем только представления Tj. §2. Квантовая алгебра {/,(sh)
457
2.4. Тензорное произведение представлений. Пусть Tj1 и Tj2 — неприводимые конечномерные представления алгебры Ug(s 1г), действующие соответственно в пространствах и Sj2- Если Q = I (то есть в классическом случае), то тензорное произведение Tl1 ® Tj2 этих представлений действует в пространстве Sj1 ® Sj2, причем операторы Е® := := (Th®Th)(E±) и Я® := (Tj1 ® Tj2)(H) задаются формулами
Ef = Th (Е±) ® Ih + Ih ® Th (Е±), (2.26)
ff® = Tll (H) ® Ih + Ii1 ® Th (H), (2.27)
где Iii — единичный оператор в Sji- Если q ф 1, то, как легко проверить, операторы (2.26) и (2.27) не удовлетворяют соотношения (2.2) и (2.3). Чтобы они удовлетворяли эти соотношения, операторы Е® и Я® следует задавать формулами, согласованными с формулой (2.5), то есть формулами
Ef = (Th®Th)(A(E±)) = Tll[Е±) ® Qh*'2+q'Hl'2® T1,(Е±),
fc® = (gH/2)® = qHl/2 0 qHz,2j (fc-l)e = q-Hl/2 0 q-B,/2t
где q±Hi/2 := Tji (g±H^2). Предлагаем читателю проверить, что эти операторы удовлетворяют соотношения (2.18) и (2.19). Заметим, что оператор Т(к) = T(qH/2) конечномерного представления T однозначно определяет оператор T(H), такой что T(qH/2) = qT(H)/2_ Соотношения (к*1)® = q±H^2®q±H^2 эквивалентны такому равенству
Я® = Tj1 (H) ® Ih + Ih ® Tj2 (H). (2.28)
Поскольку оператор (2.28) и спектр операторов Ti(H) имеют такой же вид, как в случае классической алгебры Ли s 1(2,С), то спектр оператора Я® имеет такой же вид, как для s[(2,C). Другими словами, спектр оператора Я в представлении Tj1 ®Th совпадает с объединением спектров этого оператора в представлениях Tj, I = |/i — I21, JZ1 — 12\ +1,... , Zi +12 (см. п. 5.9 гл. 3). Представления Tj однозначно (с точностью до эквивалентности) определяются спектром оператора Я. Поскольку оператор Казимира имеет на перечисленных представлениях разные собственные значения, то представление Ti1 ®Th разлагается в прямую сумму неприводимых 458 Глава 2,
представлений Ti, І = |Іі — h\,\h — h\ + I5 • • • 5 'і + h- Подпространства пространства йіОіЗг» в которых реализуются представления Ti, обозначаем через Sji.
Пусть {ел-}, {е}.}, {е(„} — ортонормированные базисы соответственно в пространствах Sji,Sj2,Sji, в которых операторы T(E+),T(E-),T(qH/2) задаются формулами типа (2.22)-(2.24).
Тогда в соответствии с разложением iji <g> Sj2 = ф Sji имеем
і
B1m = E Cq{h,l2,1; j, к,m)ej ®е'к = Y tfifaj ® eIfe-j,k j,k
Эта формула определяет коэффициенты Клебша-Гордана Cg(...) тензорного произведения представлений Tj1 и Tj2. Для них справедливо большинство рассуждений п. 5.9 гл. 3. В частности, Cq(h,l2,l; j,k,m) = 0 при j + к Ф т. Выполняются соотношения ортогональности
Yc^ih,h,h j,k,m)Cq(h,l2,l'-, j,к,тп) = Sw, (2.29)
і
YCq(!i>12>1'> 3,™-j>m)Cq(h,l2,l; j',m-j',m) = Sjr. і
(2.30)
Вычисление и явный вид коэффициентов Клебша-Гордана алгебры Uq(sl2) см., например, в [76].
2.5. Тензорное произведение и Д-матрица. R-матрица, задаваемая формулой (2.12), не принадлежит Uq(s l2)<g> ®Ug(sI2). Поскольку операторы Ti(E+) и Ti(E-) представления Tj нильпотентны, то есть (Ti(E±))n = 0 при определенном значении целого положительного числа п, то оператор
я'1'2 = (H1 ® T1J(R)
хорошо определен. Пусть а" — линейный оператор из iji ® Sj2 на Sj2 <g> йі, действующий по формуле cr'(vi 0 v2) = v2® vi, vi Є fji, v2 Є Sj2. Введем оператор
R1^ =(т'о (Th <g> Ti2)(R). §2. Квантовая алгебра {/,(sh) 459
Поскольку Д'(а) = RA(a)R-1, а Є l/e(sl2), где Д' = <тД (см. п. 2.2), то
RlllHfr1 ®Th)(A(a))) =^(? ®Th)(R)(Th ®Th)(A(a)) = = ^(Ti1 ®Th)(RA(a)) = CTt(Th ® Th)(A'(a))(Th ®Th)(R) = = (Th ®Th)(A(a))cr'(Th ®Th)(R) = (Th ®Th)(A(a))Rlll\
то есть Д'1'2 является сплетающим оператором (иначе, оператором эквивалентности) для представлений Th ®Th и Th ®Th алгебры Ug(Sl2).
Используя формулы (2.22)-(2.24), можно вычислить матричные элементы
^(nf.naKn!+П.П2-П) = (eni+n ® е'тц-п I Rllh I eII1eU) =
= c(e'ni+n ® _„ I ® Е» І е;іе;12)
оператора R'1'2, где с = gn^n+1^2(l—g-2)n([n]!)_1. Другие матричные элементы этого оператора зануляются. Прямое вычисление дает
pIl/2 = (1 - g-2)" ([Іі-пгУ.ік+т-пЛ
(пі,п*кпі+п,п2-п) [n]! ^l1 + Пі]| [I1 _ Пі _ „J| J
1
х ([I2 + n2]! [I2 -Ti2+ n]!\ X \[Ь-пз]!р2+пз-п]7
^2(TlliTl) (n2-n)gn(n+l)/2
В частности, для R := R1/2' 1Z2 и R := а' о Д1/2,1I2 имеем
