Математические основы теории симетрии - Голод П.И.
Скачать (прямая ссылка):
Щ,к+\Ек-і,к — 2Ек,к+іЕк-і,кЕк,к+і + Ек-і,кЕІк+х = O-
Простая (но громоздкая) проверка показывает, что операторы, задаваемые формулами (5.8)-(5.10), удовлетворяют этим определяющим соотношениям, то есть задают представление алгебры Ли 0l(n,C).
Заметим, что подобным образом строятся представления алгебр Ли so(n,C) групп SO(n, С) (см., например, [23]).
§ 6. Представления аффинных алгебр Ли
6.1. Определение интегрируемых представлений.
Аффинные алгебры Ли бесконечномерны. Однако в них есть класс неприводимых представлений, имеющих много свойств конечномерных представлений полупростых (конечномерных) алгебр Ли. Это так называемые интегрируемые представления, к определению которых мы приступаем.
Пусть V — комплексное линейное пространство, в котором действует представление T аффинной (твисторной или нетвисторной) алгебры Ли 0. Пусть операторы T(H), H Є і), одновременно приводятся к диагональному виду. Это означает, что
^ = (6-1) А
где V\ — собственные подпространства операторов T(H), Hei1:
Vx = (х Є VI Т(Н)х = А(Н)х для всех H Є426
Глава 2,
Если dim Vx Ф 0, то линейную форму А на f) называют весом представления Т, a Vx — весовым подпространством. Число тд = dim Vx называют кратностью веса А в представлении Т. Представления T алгебры 0, чьи пространства разлагаются в прямую сумму весовых подпространств, называют весовыми. Ниже рассмотрим только такие весовые представления аффинных алгебр, в которых кратности весов конечны.
Пусть 0 — аффинная алгебра, порожденная элементами ei, fi, h{, і = 0,1,2,...,/, удовлетворяющими соотношениям (4.21) или соответствующим соотношениям для твис-торной аффинной алгебры. Для каждого г, 0 ^ г ^ I, образуем подалгебру 0i = Ce,- + Сfi + Oi,-. Она изоморфна простой алгебре Ли sl(2, С). Пусть T — весовое представление аффинной алгебры 0. Если сужение T на каждую подалгебру 0i, О ^ г ^ I, разлагается в прямую сумму конечномерных неприводимых представлений то его называют интегрируемым. В этом случае каждое такое сужение интегрируется (путем взятия экспоненты) до представления группы Ли ехр 0i ~ SL(2, С).
Весовая диаграмма неприводимого конечномерного представления алгебры Ли sl(2,C) инвариантна относительно нетождественного отражения из группы Вейля алгебры sl(2, С) (см. § 5 гл. 3). Поэтому весовая диаграмма интегрируемого представления T аффинной алгебры 0 инвариантна относительно отображений
А -» SiX = А - a(hi)ai, ? = 0,1,2,...,/,
а это означает, что она инвариантна относительно действия всей группы Вейля W алгебры 0. В частности, для кратностей ВеСОВ ТПд Имеем ТПд = thwx Для всех w Є W.
6.2. Модули Верма. Неприводимые интегрируемые представления аффинной алгебры 0 можно построить с помощью так называемых модулей Верма. Модули Верма являются фактически представлениями со старшим весом, определяемыми следующим образом. Пусть 63 — универсальная обертывающая алгебра аффинной алгебры 0. Для 63 имеем разложение 63 = в произведение универсальных обертывающих алгебр для подалгебр n_, f), п+ соответственно (см. п. 4.7). Весовое представление T алгебры 0 называют§ 6. Представления аффинных алгебр JIu 427
представлением со старшим весом, если в пространстве V этого представления существует одномерное весовое подпространство Va с базисным вектором ед веса Л, такое что
Т(п)ед = 0 для всех п Є (ft+, п ф 1, (6.2) Т(ё)еЛ = V, (6.3)
где Т(бЗ)ед — множество всех векторов Т(а)ед, а Є <S.
Из свойства (6.2) вытекает, чтоТ(*П+)еА = Сед (поскольку содержит С), а свойство (6.3) означает, что ед — циклический вектор для представления Т. Из (6.2) и (6.3) и из того, что ед — весовой вектор, выводим
V = T(S)e а = T(m-)T(sj)T(m+)eA = т(й_)ВДеЛ =
= Г(Й_)СеЛ = Т(Й_)е д.
Отсюда и из разложения (4.48) получаем
У = ?т(ЙЛ)еЛ. (6.4)
А
Если п Є H Є f), то Hn = пН + (ad Н)п = пН + Х(Н)п. Поэтому
Т(Я)(Т(п)еЛ) = А(Я)(Г(п)еА) + Т(п)Т(Я)еЛ =
= [Л(Я) + А(Я)](Т(п)ед).
Таким образом, (6.4) является весовым разложением пространства представлений T, причем
Т(ЙА)ел = VA+x. (6.5)
Поскольку разложение в (6.4) ведется по формам А и эти формы являются суммами простых корней с отрицательными коэффициентами, то учитывая (6.5), приходим к такому выводу: веса представления Тд со старшим весом Л имеют і л вид Л — CLiOti, где а,- — простые корни алгебры д, а а,- — i=0
целые неотрицательные числа.428
Глава 2,
Из формулы (4.49) ясно, что dim Уд+а ^ К(—\), где К — функция разбиения Костанта. Представление Л/д со старшим весом Л называют модулем Верма?, если для всех Л выполняются равенства dim Va+a = К(—Х). Это означает, что если п и п' — линейно независимые элементы из 9Ї_, то векторы Мд(п)ел и Мл(п')ед также линейно независимы. Говорят, что модуль Верма — это представление со старшим весом, свободно порожденное универсальной обертывающей алгеброй 9Ї_.
Модуль Верма Мд со ставшим весом Л можно реализовать в пространстве алгебры 9Ї_. Вектором старшего веса еА в этом случае является единица алгебры 9t_, а операторы представления задаются формулами