Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Голод П.И. -> "Математические основы теории симетрии" -> 125

Математические основы теории симетрии - Голод П.И.

Голод П.И., Климык А.У. Математические основы теории симетрии — Москва, 2001. — 528 c.
Скачать (прямая ссылка): matematosnoviteorsimetr2001.djvu
Предыдущая << 1 .. 119 120 121 122 123 124 < 125 > 126 127 128 129 130 131 .. 154 >> Следующая


Щ,к+\Ек-і,к — 2Ек,к+іЕк-і,кЕк,к+і + Ек-і,кЕІк+х = O-

Простая (но громоздкая) проверка показывает, что операторы, задаваемые формулами (5.8)-(5.10), удовлетворяют этим определяющим соотношениям, то есть задают представление алгебры Ли 0l(n,C).

Заметим, что подобным образом строятся представления алгебр Ли so(n,C) групп SO(n, С) (см., например, [23]).

§ 6. Представления аффинных алгебр Ли

6.1. Определение интегрируемых представлений.

Аффинные алгебры Ли бесконечномерны. Однако в них есть класс неприводимых представлений, имеющих много свойств конечномерных представлений полупростых (конечномерных) алгебр Ли. Это так называемые интегрируемые представления, к определению которых мы приступаем.

Пусть V — комплексное линейное пространство, в котором действует представление T аффинной (твисторной или нетвисторной) алгебры Ли 0. Пусть операторы T(H), H Є і), одновременно приводятся к диагональному виду. Это означает, что

^ = (6-1) А

где V\ — собственные подпространства операторов T(H), Hei1:

Vx = (х Є VI Т(Н)х = А(Н)х для всех H Є 426

Глава 2,

Если dim Vx Ф 0, то линейную форму А на f) называют весом представления Т, a Vx — весовым подпространством. Число тд = dim Vx называют кратностью веса А в представлении Т. Представления T алгебры 0, чьи пространства разлагаются в прямую сумму весовых подпространств, называют весовыми. Ниже рассмотрим только такие весовые представления аффинных алгебр, в которых кратности весов конечны.

Пусть 0 — аффинная алгебра, порожденная элементами ei, fi, h{, і = 0,1,2,...,/, удовлетворяющими соотношениям (4.21) или соответствующим соотношениям для твис-торной аффинной алгебры. Для каждого г, 0 ^ г ^ I, образуем подалгебру 0i = Ce,- + Сfi + Oi,-. Она изоморфна простой алгебре Ли sl(2, С). Пусть T — весовое представление аффинной алгебры 0. Если сужение T на каждую подалгебру 0i, О ^ г ^ I, разлагается в прямую сумму конечномерных неприводимых представлений то его называют интегрируемым. В этом случае каждое такое сужение интегрируется (путем взятия экспоненты) до представления группы Ли ехр 0i ~ SL(2, С).

Весовая диаграмма неприводимого конечномерного представления алгебры Ли sl(2,C) инвариантна относительно нетождественного отражения из группы Вейля алгебры sl(2, С) (см. § 5 гл. 3). Поэтому весовая диаграмма интегрируемого представления T аффинной алгебры 0 инвариантна относительно отображений

А -» SiX = А - a(hi)ai, ? = 0,1,2,...,/,

а это означает, что она инвариантна относительно действия всей группы Вейля W алгебры 0. В частности, для кратностей ВеСОВ ТПд Имеем ТПд = thwx Для всех w Є W.

6.2. Модули Верма. Неприводимые интегрируемые представления аффинной алгебры 0 можно построить с помощью так называемых модулей Верма. Модули Верма являются фактически представлениями со старшим весом, определяемыми следующим образом. Пусть 63 — универсальная обертывающая алгебра аффинной алгебры 0. Для 63 имеем разложение 63 = в произведение универсальных обертывающих алгебр для подалгебр n_, f), п+ соответственно (см. п. 4.7). Весовое представление T алгебры 0 называют § 6. Представления аффинных алгебр JIu 427

представлением со старшим весом, если в пространстве V этого представления существует одномерное весовое подпространство Va с базисным вектором ед веса Л, такое что

Т(п)ед = 0 для всех п Є (ft+, п ф 1, (6.2) Т(ё)еЛ = V, (6.3)

где Т(бЗ)ед — множество всех векторов Т(а)ед, а Є <S.

Из свойства (6.2) вытекает, чтоТ(*П+)еА = Сед (поскольку содержит С), а свойство (6.3) означает, что ед — циклический вектор для представления Т. Из (6.2) и (6.3) и из того, что ед — весовой вектор, выводим

V = T(S)e а = T(m-)T(sj)T(m+)eA = т(й_)ВДеЛ =

= Г(Й_)СеЛ = Т(Й_)е д.

Отсюда и из разложения (4.48) получаем

У = ?т(ЙЛ)еЛ. (6.4)

А

Если п Є H Є f), то Hn = пН + (ad Н)п = пН + Х(Н)п. Поэтому

Т(Я)(Т(п)еЛ) = А(Я)(Г(п)еА) + Т(п)Т(Я)еЛ =

= [Л(Я) + А(Я)](Т(п)ед).

Таким образом, (6.4) является весовым разложением пространства представлений T, причем

Т(ЙА)ел = VA+x. (6.5)

Поскольку разложение в (6.4) ведется по формам А и эти формы являются суммами простых корней с отрицательными коэффициентами, то учитывая (6.5), приходим к такому выводу: веса представления Тд со старшим весом Л имеют і л вид Л — CLiOti, где а,- — простые корни алгебры д, а а,- — i=0

целые неотрицательные числа. 428

Глава 2,

Из формулы (4.49) ясно, что dim Уд+а ^ К(—\), где К — функция разбиения Костанта. Представление Л/д со старшим весом Л называют модулем Верма?, если для всех Л выполняются равенства dim Va+a = К(—Х). Это означает, что если п и п' — линейно независимые элементы из 9Ї_, то векторы Мд(п)ел и Мл(п')ед также линейно независимы. Говорят, что модуль Верма — это представление со старшим весом, свободно порожденное универсальной обертывающей алгеброй 9Ї_.

Модуль Верма Мд со ставшим весом Л можно реализовать в пространстве алгебры 9Ї_. Вектором старшего веса еА в этом случае является единица алгебры 9t_, а операторы представления задаются формулами
Предыдущая << 1 .. 119 120 121 122 123 124 < 125 > 126 127 128 129 130 131 .. 154 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed