Математические основы теории симетрии - Голод П.И.
Скачать (прямая ссылка):
463
(ii) Неприводимые и циклические представления Таьх и Таіь'X' эквивалентны тогда и только тогда, когда а' = = а + Ь-1[г]д(Лд1-* —Л-1<7*-1)(<7 —<7-1)-1, Ь = 1/ и X' = q2iX для некоторого і € {0,1,2,..., р — 1}.
(iii) Каждое неприводимое и циклическое представление алгебры Uq(sl2) эквивалентно одному из представлений Таьх-
Доказательство этого утверждения см. в [76], раздел 3.3.
Собственные векторы оператора представления Т(к) называют весовыми. Из утверждения 2(i) и формул (2.32)-(2.34) вытекает, что в циклическом представлении с помощью действия оператора Таьх(Е+) (а также с помощью действия оператора Таь\(Е-)) можно перейти от любого весового вектора е^ К всякому другому весовому вектору Bj. Это объясняет почему эти представления называют циклическими. В циклическом представлении не существует старших весовых векторов (то есть векторов Єі, для которых Таьх(Е+)Єі = 0) и младших весовых векторов (то есть векторов ej, для которых Tab\(E-)ej = 0). Напомним, что для представлений Г/ (и для представлений Tiw) существуют как старший, так и младший весовые векторы.
Случай3: T(El) = 0 и T(Ep) ф 0 или T(Ep) ф 0 и T(Et) = 0.
В этом случае представления называют полуциклически-ми. Сначала рассмотрим случай, когда Т(Е\) = 0 и T(E1L) ф 0. Примерами таких полуциклических представлений являются представления Таь\ при а = 0.
Утверждение 3. (і) Тоьх является неприводимым представлением, таким что Тоьх(Е+) =Ou Tohx(E1L) ф 0, тогда и только тогда, когда Xp = 0, ±1. Два таких представления Тоьх и Тоь'Х' эквивалентны тогда и только тогда, когда b = U и X = А'.
(іі) Каждое неприводимое представление T алгебры UjlSl2), такое что Т(Е+) =Ou T(Ep) ф 0, эквивалентно одному из представлений Тоьх, Ь Ф 0, X Ф 0.
Доказательство этого утверждения см. в [76], раздел 3.3.464
Глава 2,
Теперь рассмотрим полуциклические представления Т, такие что T(El) ф 0 и T(EL) = 0. Для этого вводим алгебраический автоморфизм в алгебры Ug(Sl2), такой что
в(Е+) = E-, в(Е-) = E+, в(к±х) = к=F1.
Тогда композиция T' = T о в является представлением алгебры Ug(sl2), если T — ее представление. В частности, Т$ьх = = Тоьх ° 0 — представление алгебры Ug(sl2) в выше введенном векторном пространстве V. Это представление задается формулами
\„і-« _ д-іді-1
Тоьх(Е-)єі = [i]q—--ві-ь і > О,
q-q
Г0'ЬА(?;_)ео = 0, Пьх(Е+)єі = еі+1, г < р - 1, W^-H-i = beо, Цьх(к)е{ = QiA-^i.
Ясно, что Т'(ЕІ_)фО и T1(EL)=0 тогда и только тогда, когда T(ELt) = 0 и T(EL) ф 0. Поэтому утверждение 3 остается справедливым, если Tobx заменить на TJthx и переставить ELi. и EL- В частности, каждое полуциклическое неприводимое представление Т, такое что Т(Е1)фО и T(EJL) = О, эквивалентно одному из представлений Tfjhx.
Из формул (2.32)-(2.34) вытекает, что ео — старший весовой вектор представления Тоьх и представления Тоьх с Ь ф 0 не имеют младшего весового вектора. Таким образом, полуциклическое представление Т, такое что T(El) = 0 и T(EL) ф О, всегда имеет старший весовой вектор и не имеет младшего весового вектора. Подобным образом, полуциклическое представление Т, такое что T(El) ф 0 и T(EL) = 0, имеет младший весовой вектор и не имеет старшего весового вектора.
Случаи 1-3 исчерпывают-все возможные случаи для неприводимых представлений алгебры Ug(sl2), когда q — корень из единицы. Поэтому справедлива такая теорема.
Теорема 2. Каждое неприводимое представление алгебры Ug(Sl2) при qp = 1 является весовым представлением и его размерность не превышает р. Неприводимые представления T с dim T < р эквивалентны представлениям Ti или Tiw§3. q-осцилляторная алгебра и алгебра t/,(slj)
465
с 21 < р — 1 из утверждения 1. Каждое неприводимое представление размерности р эквивалентно одному из представлений Таь\ и Гцьл из утверждений 1-3.
Теперь рассмотрим представления Tooa с Л = u>qn, и> = = ±l,±i, п = 0,1,... ,р — 2. Такое представление приводимо, и линейная оболочка базисных векторов е,, п < г ^ р — 1, является нетривиальным инвариантным подпространством. Ограничение представления Tooa на это подпространство эквивалентно неприводимому представлению Т/, 21 = р — п — 1, если и> = 1, и представлению Т/ы, 21 = р — п — 1, если ш = —l,±i. Детальное рассмотрение операторов Tqq\(E+), Tooa (Я-) и Tooa (А;) показывает, что эти представления Tooa не являются вполне приводимыми. Таким образом, если q — корень из единицы, то теорема о полной приводимости конечномерных представлений алгебры Ug(Sl2) неверна.
§ 3. qr-осцилляторная алгебра и алгебра Ug(Sl2)
3.1. g-осцилляторные алгебры. Q-осцилляторные алгебры — это деформации с помощью параметра q алгебры гармонического осциллятора квантовой механики, q-осцилляторная алгебра Ag является комплексной ассоциативной алгеброй с единицей, порожденной четырьмя генераторами в+, ai Qn\ Q~Nі удовлетворяющими соотношениям
Эти определяющие соотношения формально эквивалентны таким:
[a, a+}q = q~N, [N, e+] := Na+ - a+N = а+, [N, в] = -а.
Используя соотношения (3.1) и (3.2), легко проверяем, что