Математические основы теории симетрии - Голод П.И.
Скачать (прямая ссылка):
^e{w)e{w(A + р) - р)
ch La = —-, (6.12)
П (1 - е(-а))т(»>
аЄА+
означающей, что
e(p)R ch La = Y ?(w)e(w(A + р)). (6.13)
Здесь р — линейная форма на (], такая что p(hi) = 1, і = О, 1,... ,1, и e(w) — знак определителя преобразования w Є W.
За доказательством этой теоремы отсылаем читателя к [31].
Представление La с Л = 0 является тривиальным представлением: La(u) = 0 для всех а Є 0. Поэтому chLo = е(0). Этот элемент является единичным элементом алгебры &. Полагая Л = 0 в (6.12), получаем равенство
Ц (і _ «(-«))"*»> = Yj e[w)e(wp - р), (6.14)
аЄД+
называемое формулой знаменателя. С его помощью формула (6.12) для характера ch La представляется в виде
E^(to)e(tu(A + p))
сЪЬа = -. (6.15)
^e(w)e(wp)
wew
Формулам (6.11)-(6.15) можно придать строгий смысл функциональных равенств. Для этого заменим формальные экспоненты е(А) экспоненциальными функциями еА на I), полагая ех(Н) = ех(-н\ Het). Используя характер (6.8') представления, образуем ряд
E(dimFA)eAW, Heb- (6.16)
А^Л § 6. Представления аффинных алгебр JIu 433
Справедливы такие утверждения.
1. Ряд (6.16) сходится на подмножестве
Y = {Н Є f)I Reai(H) ^ 0, » = 0,1,2,... ,/}
и является голоморфной функцией на внутренности Int Y этой области.
2. Ряд (6.16) как функция на IntF аналитически продолжается до мероморфной функции на области
Xc = [H1 + ІН2 IJT1 Є X, Я2 Є Ья}, Л і
где f}R = ? IR/ii, а X — конус Титса, определяемый
<=о
формулой
X=U wC, С = [Н Є Ы IOi(H) Z О, і = 0,1,2,...,I}.
и/Є W
3. Ряд e(w)ew(A+p) абсолютно сходится на Int Xc до ме-wefV
роморфной функции и абсолютно расходится на fy \Int Xc. Доказательство этих утверждений можно найти в [31].
Эти утверждения позволяют записать характер представления La как функцию на Y. Мы имеем
? e(w)ew
сЪЬа = -. (6Л7)
х; e(w)ew"
weW
Формулу знаменателя можно записать в виде равенства функций:
П (1-е~аГ(а) = Y (6-18)
аЄД+ w?W 434 Глава 2,
Эта формула служит основой для получения различных тождеств. Например, для аффинной алгебры .Aj1' она принимает вид
Ц[1 - e(-ao)ne(-oi)n][l - ef-aor-^-aO»] х
n^l
СЮ
х[1-е(-а0)"е(-а1)"-1]= Y e(-ao)n(2"-1)e(-ai)"(2"+1)-
71= —OO
OO
- Y1 e(-a0)(n+1)(2n+1)e(-a1)n(2n+1).
Tl=-OO
Положив здесь е(—ао) = и, e(—ai) = v, а потом заменив uv на q2 и и/V на t2, получим тождество Якоби
OO OO
П(I-AanXl-Vn-1Hl-ГYn-1)= Y {-*)т<Ґ*т,
tl= 1 тп= —OO
дающее различные выражения для одной из классических тета-функций Якоби. Глава 5
Квантовые группы и алгебры
§ 1. Алгебры Хопфа
1.1. Введение. При изучении нелинейных дифференциальных уравнений и развитии квантового метода обратной задачи теории рассеяния возникли новые типы алгебр. Например, в работах [98, 104] возникла ассоциативная алгебра Uh с порождающими элементами Н, Е+, E- и коммутационными соотношениями
[Н, Е±] = ±2 Е±, [Е+,Е-] = (1.1)
где h — фиксированное комплексное число, играющее роль постоянной Планка. В работе [116], посвященной квантовой модели Лиувилля на решетке, возникла алгебра Aq, порождаемая элементами а, Ь, с, d и соотношениями
ab = qba, ас = qca, be = cb, bd = qdb, cd = qdc, (1.2) ad — da = (q — q~x)bc, (1.3)
где q — отличное от нуля комплексное число.
При h —> 0 соотношения (1.1) переходят в коммутационные соотношения для генераторов (базисных элементов) алгебры Ли sI(2,C). Поэтому алгебру Uh можно рассматривать как деформацию (квантование) универсальной обертывающей алгебры для алгебры Ли si (2, С). Соотношения (1.2) и (1.3) при q —> 1 переходят в соотношения для элементов матрицы g = ("'(f) гРУппы SX(2,C). Поэтому алгебру Aq можно понимать как деформацию SLq(2,C) группы SX(2,C). Однако элементы матрицы
(1.4) 436
Глава 2,
этой деформации становятся некоммутирукмцими. Более того, теперь отсутствует зависимость а, Ь, с, d от параметров. У матрицы (1.4) осталось мультипликативное свойство. А именно, если элементы матриц ( ) и ( J" ) удовлетворяют условиям (1.2) и (1.3), то элементы матрицы
(а' Ъ'\ (а" Ъ"\ _ fa'а" + Ь'с" а'Ь" + b'd"\
\с' d'J Vc" d") ~ у с'а" + d'c" c'b" + d'd")
также удовлетворяют им, если каждое из а', Ь', с', d' коммутирует с каждым из а", Ь", с", d".
Осмысление приведенных примеров привело к новым математическим понятиям, являющимся основой теории квантовых групп. Основными объектами этой теории являются квантованные универсальные обертывающие алгебры и квантованные алгебры функций на группах. Первые называются квантовыми алгебрами, а вторые — алгебрами функций на квантовых группах. Как квантовые алгебры, так и алгебры функций на квантовых группах являются алгебрами Хопфа. Алгебра Хопфа — достаточно абстрактное понятие. Чтобы было понятно, откуда берутся конструкции в определении алгебр Хопфа, мы предварительно рассматриваем алгебру функций иа обычной группе. Она является коммутативной алгеброй Хопфа (и кокоммутативной, если группа G коммутативна).
1.2. Алгебра функций на группе. Пусть G — некоторая группа. В ней определены операция умножения (gijgfc) gig2, то есть отображение G х G G, операция взятия обратного элемента g —> g~x, то есть отображение G —> G, и единичный элемент. Пусть si = FunG — некоторая ассоциативная алгебра функций на G с единичным элементом. Считаем, что умножение (fi, /2) -> /i/г и единица I ъ si определены формулами
