Математические основы теории симетрии - Голод П.И.
Скачать (прямая ссылка):
р(Я)1 = Л(Я)1, неї>, р(/,)1 =/і, р(еі)1=0, г = 0,1,2,... ,1, P(H)Fx = (Л + X)Fx, Fxemx, p(fi)Fx = fiFx, Fxemx, і = 0,1,2,...,/, p(ei)Fx = eiFx -1, Fxemx, г = 0,1,2,... , J.
Правая часть последнего соотношения требует объяснения. Элемент eiFx принадлежит 63 = 9Ї_із9Ї+. Представим его в виде суммы произведений n_/m+, где ті-, h, п+ — элементы соответственно из 55, , являющиеся произведениями базисных элементов подалгебр n_, i), п+. Тогда каждому из слагаемых соответствует элемент пространства представления 9І_, а именно
n-hn+ -1 = 0, если n+ $ С, nLh' ¦ 1 = A(h')n'_ • 1 = A(h')n'_ Є 9t_.
Это и определяет элемент eiFx • 1.
3Если быть точным, то модулем Верма следует называть линейное пространство, в котором действует представление Afд. Называя Мд модулем Верма, мы отождествляем пространство с представлением, действующем в нем. § 6. Представления аффинных алгебр JIu
429
Линейные формы Л Є f)', для которых Л (hi), і = 0,1, 2,... ,1, — целые числа, называют целочисленными. Множество всех целочисленных линейных форм на t) обозначим через Р. Линейную целочисленную форму А называют доминантной, если все числа A (hi), г = 0,1,2,... ,1, неотрицательны. Множество таких форм обозначаем через Р+.
Пусть Л — такая форма из Р, что A(hi) ^ 0 при некотором г, а Мл — модуль Верма со старшим весом Л. Пусть ед — вектор старшего веса для этого модуля Верма. Использовав соотношение [Єі,/і] = hi и повторив рассуждения п. 5.4 гл. 3, находим
Єі/f (Лі)+1еЛ = 0, eif^eA ф 0. (6.6)
Поскольку [ej, fi] = 0 при г ф j, то
ЄіУ?(Лі)+1еЛ = о, зфі. (6.7)
Вектор ед' = yf(fc,)+1eA — весовой с весом M = K- (Л(Л,) + + l)(Xi. Вследствие формул (6.6) и (6.7) имеем
мЛ(ё)еЛ' = MA(W-)MA(sj)MA(w+)eA, = мА(т-)еА,,
то есть на ед» натягивается инвариантное подпространство, в котором реализуется представление со старшим весом Л' = Л — (A(hi) + l)aj. Легко видеть, что это представление является модулем Верма МА>. Следовательно, мы показали, что если модуль Верма Ma имеет старший вес А Є P такой, что A(hi) ^ 0, то он содержит подпредставление со старшим весом А', являющееся модулем Верма МА>. При этом A'(hi) < 0.
6.3. Неприводимые интегрируемые представления. Пусть Ma — модуль Верма аффинной алгебры g со старшим весом А Є P+. Тогда для каждого г, 0 ^ г ^ I, Ma содержит подпредставление MAi, Ai = Л — (A(h{) + l)aj. Пусть M — максимальное нетривиальное подпредставление модуля Верма МА, то есть такое, что любое его подпредставление содержится в М. Тогда фактор-представление Ma/М 430
Глава 2,
является представлением алгебры д, обозначаемым через La-Справедливы такие утверждения:
1. Представление Ь\ является неприводимым интегрируемым представлением аффинной алгебры g со старшим весом Л.
2. Каждое интегрируемое неприводимое представление алгебры g эквивалентно одному из представлений L\.
3. Если Л' — вес представления La, то для каждого элемента W группы Вейля W алгебры g форма wA' также является весом этого представления. Более того, кратности всех весов wA', W Є W, одинаковы.
Доказательство этих утверждений можно найти в [31].
Свойства интегрируемых неприводимых представлений аффинной алгебры д, перечисленные в утверждениях 1-3, совпадают с соответствующими свойствами неприводимых конечномерных представлений полупростых алгебр Ли. Однако интегрируемые представления аффинных алгебр бесконечномерны.
6.4. Характеры интегрируемых представлений.
Если Аир — линейные формы из Р, то пишем A ^ ц, если А — fi Є P+. Вводим формальные экспоненты е(А), А Є Р, и образуем суммы
EcAe(A), (6.8)
а єр
где сд Є С, причем для каждой суммы существует такой вес А, что сд может быть отличным от нуля тогда и только тогда, когда A ^ А. Определяем операцию умножения е(А)е(р) = е(А + ц) и по линейности продолжаем ее на суммы вида (6.8). Произведение элементов вида (6.8) снова является элементом такого типа. Следовательно, множество элементов (6.8) образует коммутативную ассоциативную алгебру, которую обозначим через 8. Экспоненты е(А), А Є Р, являются линейно независимыми элементами этой алгебры. § 6. Представления аффинных алгебр JIu 431
Пусть Тд — представление аффинной алгебры g со старшим весом Л, Л Є P+, а V = ф Vx — разложение простран-
А<Л
ства этого представления в сумму весовых подпространств. Элемент
ChTii=Yl(dim= Y (6"8')
А<Л А<Л
алгебры S называют характером представления Тд. Результаты п. 6.2 показывают, что характером модуля Верма Мд является
ch Мд = Y К(-\)е{\), (6.9)
А<Л
где К(р) — функция разбиения Костанта. Из определения функции К(р) вытекает, что
chMa = е(Л) JJ (1 + е(—а) + е(-2а) +...)т(а), (6.10)
аЄА+
где Д+ — множество положительных корней алгебры 9, а тп(а) — кратность корня а. Поскольку формально
(1 - е(-а))-1 = 1 + е(—а) + е(-2а) +... ,
то формулу (6.10) можно записать в виде
ch Мд = е(Л) П (l-e(-a))m(a). (6.11)
аЄД+
Выражение в правой части этой формулы при е(Л) обозначим через R:
R= П (1-е(-а))т(°).
аЄА+ 432 Глава 2,
Теорема 1. Характер неприводимого интегрируемого представления La аффинной алгебры g задается формулой
