Математические основы теории симетрии - Голод П.И.
Скачать (прямая ссылка):
A(J) CA®J + J®A, e(J) = {0}.
Если J — коидеал в Ac, то фактор-пространство Ac/ J является коалгеброй с коумножением и коединицей, индуцированными с Ac.
Пусть A1c — линейное пространство линейных функционалов на коалгебре Ac (его также называют дуальным пространством к Ac). Если А (а) = ян ® а2{, то формула
t
а Є Ac, f,g Є Ac,
определяет умножение в Ac, преобразующее А'с в ассоциативную алгебру.
Пусть теперь В' — дуальное пространство к алгебре В. Можно было бы ждать, что формула
А в-(f)(h®b2) = Sihb2), feB', buh ЄВ,
определяет коумножение на В', преобразуя В' в коалгебру. Но это не всегда так. Причина состоит в том, что В' ® В' является, вообще говоря, собственным подпространством в (В®В)', если алгебра В бесконечномерна. Чтобы устранить эту ситуацию, заменяют В' на подходящее подпространство или расширяют тензорное произведение (например, пополняя его в некоторой топологии). Дуальное пространство В' конечномерной алгебры В всегда является коалгеброй. 442
Глава 2,
Ассоциативную алгебру А Называют биалгеброй, если в А введена структура коалгебры (то есть определены коумножение Д и коединица є), причем коумножение и коединица являются алгебраическими гомоморфизмами соответственно А вА®Ли ЛвС, то есть
А(аЪ) = А(а)А(Ь), є(аЬ) = є(а)є(Ь), Д(1) = 1 в 1, є(1) = 1.
Рекомендуем читателю доказать, что тогда умножение т: А ® А -» А и единичное отображение е: С —> А являются гомоморфизмами соответствующих коалгебр.
Пусть А и В — биалгебры. Линейное отображение <р: А —> —> В называют биалгебраическим гомоморфизмом А в В, если оно является гомоморфизмом алгебр и коалгебр. Векторное пространство А® В, наделенное структурой алгебры и коалгебры, как описано выше, становится биалгеброй.
Линейное подпространство J биалгебры А называют би-идеалом, если оно является двухсторонним идеалом алгебры А и коидеалом коалгебры А. Фактор-пространство А/J биалгебры А по биидеалу J становится биалгеброй с биалгебраичес-кой структурой индуцированной из А.
В биалгебре А выделяют два типа элементов. Ненулевой элемент а Є А называют группово-подобным, если А(а) = = а® а. Произведение группово-подобных элементов является группово-подобным элементом. Элемент X Є А называют примитивным, если Д(ж) = ж ® 1 + 1 ® ж. Для примитивного элемента X имеем є(х) = 0. Действительно, согласно (1-19)
(id ® є)А(х) = же(1) + є(ж)1 = X, є(1) = 1.
Поэтому X -І- є(х) =хм, следовательно, є(х) = 0.
Если XH у — примитивные элементы, то [ж, у] := ху — ух также примитивен. Действительно,
А(ху) = (ж®1ч-1®а;)(у®Ц-1®у) = a;y®l+a;®y-|-y®a;-f 1®жу,
А(ух) =ух®1 + у®х + х®у + 1® ух. Поэтому Д([ж, у]) = А(ху) — А (ух) = [ж, у] ® 1 + 1 ® [х,у]. § 1. Алгебры Хопфа
443
1.4. Определение алгебр Хопфа. Биалгебру А называют алгеброй Хопфа, если в А введено линейное отображение S: А —> А (называемое антиподом) и выполняются равенства
[то(5®id)оД](а) = [mo(id®S)oA](a) = є(а)І, а Є А. (1.20) Если Д(а) = то соотношение (1.20) принимает вид
г
E S(Cii)C2,- = E аі'^(а2 •) = ^(0K-і і
Вообще говоря, S2 = SoS ф id и S{ab) ф S(a)S(b). Можно показать, что антипод S имеет свойства
S(ab) = S(b)S(a), S(I) = I, є о S = є, (1.21)
а о (S ® S) о А = А о S. (1.22)
Таким образом, S является антигомоморфизмом алгебры А и антигомоморфизмом коалгебры А.
Легко показать, что если А — коммутативная или коком-мутативная алгебра Хопфа, то S2 = id.
Пусть А и В — алгебры Хопфа с антиподами Sa и Sb соответственно. Линейное отображение <р: А —> В называется гомоморфизмом алгебр Хопфа, если tp является гомоморфизмом биалгебр и <р о Sa = Sb ° Можно показать, что каждый биалгебраический гомоморфизм между алгебрами Хопфа является гомоморфизмом алгебр Хопфа, то есть условие tpoSа = = Sb otp выполняется автоматически.
Биидеал J алгебры Хопфа А называют идеалом Хопфа, если S(J) С J. В этом случае А/J — алгебра Хопфа с хопфов-ской структурой индуцированной из А.
Ассоциативную алгебру А с единицей I называют *-ал-геброй, если в А введена +-операция, имеющая свойства
(аа + ?b)* = aa* + ?b* (антилинейность), (1-23)
(а*)* = а (инволютивность), (1-24)
(ab)* = b*a* (антимультипликативность), (1.25) Г =L 444
Глава 2,
Алгебру Хопфа А называют *-алгеброй Хопфа, если в алгебре А введена +-операция, имеющая перечисленные свойства и такая что
S((S(a*))*) = а, а Є А, тоесть So*oSo* = id, (1.26) и Д и є — +-гомоморфизмы, то есть
e(a*) = є(а), а Є А, (1.27)
= (1-28)
і
если Д(а) = 53 ® с,-. Свойство (1.28) можно записать в виде і
Д о * = (* ® *) о Д. (1.29)
Заметим, что операции S и * необязательно коммутируют.
Из приведенных в п. 1.4 соображений вытекает, что введенная там алгебра id = PolG является коммутативной алгеброй Хопфа. Если группа G некоммутативна, то si — неко-коммутативная алгебра Хопфа. Примерами некоммутативных и некокоммутативных алгебр Хопфа являются квантовые алгебры и алгебры функций на квантовых группах.
Пример 1. Рассмотрим алгебру Хопфа si = Pol G,G=SL(2, С). Функции 7Г11, 7ї*і2, 7Г21, 7г22 на матрицах g = (?; І22 ) € SL{2, С), определяемые формулами
