Математические основы теории симетрии - Голод П.И.
Скачать (прямая ссылка):
Д(iff) = ехр(р, iff) IJ [exp(Q, iff) - 1], (5.4)
Q>0 422
Глава 2,
где произведение взято по всем положительным корням алгебры д.
5.4. Неприводимые представления унитарной группы U(ri). Сформулированная выше теорема 1 классифицирует конечномерные неприводимые представления. Часто возникает потребность иметь эти представления в явном виде. Построим неприводимые представления алгебры Ли и(тг) унитарной группы U(n) (или, что то же самое, алгебры Ли д[(гг, С) группы GL(n, С)). Напомним, что алгебра Ли д1(тг,С) имеет базис Eij, 1 ^ i,j ^ ті, где Eij — матрицы из примера 1 в п. 1.1. Представление T алгебры Ли д[(тг,С) однозначно определяется операторами T(EiJ), 1 ^ i,j ^ п.
Неприводимые представления группы U(n) задаются п целыми числами mi„, Tri2n, ¦¦¦ , шпп, удовлетворяющими условию доминантности
тп1п > m2rl > ... > тппп.
Обозначаем их mn. Соответствующее пространство представления будем обозначать F(m„). Неприводимое представление группы U(n) со старшим весом mn является произведением одномерного представления подгруппы ?7(1) (определитель матриц), задаваемого числом тп1п + m2n + ... + тппп, и представления группы SU (п) со старшим весом (mln—m2n,m2n —
- Ti3n,... ,mn_i,n - TTinn).
Группу U(n — 1) можно рассматривать как подгруппу группы U(n), вкладывая ее в U(n) следующим образом:
.7(-1,^v4 ї).
Доказывается (см., например, [23]), что при сужении неприводимого представления группы U(ті) со старшим весом ш, на подгруппу U(n—1) получаем приводимое представление этой подгруппы, разлагающееся в прямую сумму тех и только тех неприводимых представлений этой подгруппы, которые имеют старшие веса (ті,„_і, га2,„_і,... , "г„_ііП_і), удовлетворяющие условию промежуточности
ITiln ^ т1)П_1 ^ Vd2n ^s їті2,п—і ^ ... ^ т„_1)Пг-1 ^ тппп.
(5.5) § 5. Представления полупростых алгебр JIu
423
Более того, эти неприводимые представления подгруппы U(n — 1) входят в разложение с единичной кратностью. Используем этот факт для построения базиса пространства представления V(mn).
Для этого рассмотрим последовательность подгрупп
U(n) D Щп - 1) D U(n - 1) D ... D U( 1).
Пространство неприводимого представления F(mn) группы U(n) разлагается в прямую сумму подпространств F(mn_i), m„_i = (тііП_!,... ,т„_1)П_х), указанных выше неприводимых представлений подгруппы U(n — 1). Каждое из подпространств Т^(тп_і) таким же образом разлагается в прямую сумму подпространств F(m„_2), m„_2 = (m1)tl_2, ..., т„-2,„-2), неприводимых представлений подгруппы U(n — 2). Продолжаем такие разложения представлений до подгруппы U(I). Поскольку U(I) — коммутативная подгруппа, то ее неприводимые представления одномерны. Поэтому каждое одномерное подпространство описывается схемой
"Iin тп2п ... т„_1,„ ш„„
т1)П_і ... Wn-I1Ti-I
а =
т12 т22
TH11
5.6)
где первая строка фиксирована и задает старший вес заданного неприводимого представления группы U(n), а в остальных строках стоят целые числа, удовлетворяющие условию промежуточности
TTbij ^ ^ "ІІ+1.І- (5.7)
Выбрав в каждом из полученных одномерных подпространств по нормированному вектору и отождествив их с соответствующими схемами (5.6), получим ортонормированный базис {а} пространства V(m„). Ясно, что все допустимые формулой (5.7) схемы (5.6) нумеруют элементы этого орто-нормированного базиса. Найденный базис называют базисом Гельфанда - Цетлина. 424
Глава 2,
Через обозначим схему, полученную из схемы (5.6) заменой числа тіук-і числом тіук-і + 1, а через ojj._i — схему, полученную из (5.6) заменой mt)fc_і на m,-ifc_і — 1. В этих обозначениях действие операторов Tmn(Ek-lyk), Ттп(Екук-1), Tmn(Ekk) неприводимого представления Tmn алгебры Ли 0І(п, С) задается формулами
к-1
Tmn(Ek^k)a = X 4-i(«)«j
г=1 к-1
Tmn(Ek,k-i)a = J2Ai-i(a)<*i
i=l
(к к-1 X тік ~ X
J =1 J=I
где коэффициенты .Aj^1 (а) определяются выражением
AL1(O) =
к к-2
П (mJfc- TTliyk- 1-j + i) П (™j.k-2-TUiyk-I -j+' -1)
J=I J = I
П (mJ, fc- -і -j+i)(mj,H-X-Tniyk-I - -j + i -1)
ІФІ
и под квадратным корнем понимается его положительное значение.
Заметим, что построенные базисные элементы а являются весовыми относительно коммутативной подалгебры, натянутой на элементы Екк, к = 1,2,... ,п. Элементы Ek-ltk являются корневыми, соответствующими простым корням. Элементы Ek,k-i — также корневые. Они соответствуют простым корням со знаком минус.
Матрицы Ek-lyk, Ekyk-I., Ekk порождают алгебру Ли 01(п,С), то есть они играют роль элементов Ei, Fi, Hi из теоремы 9 § 1. Определяющие соотношения (1.22)-(1.25) для
!-h
:-1>
а,
(5.8)
(5.9) (5.10) § 6. Представления аффинных алгебр JIu 425
них имеют вид
[Екк,Ец] = 0, [Екк,Ек,к-і] = Ек,к-і, [Екк,Ек,к+і] = Ек,к+1, [Екк, Efc+i^] = —Ек+і,к, [Ekk,Ek-i,k] = —Ek-i,k,
[Екк,Ei,i_iJ = [EfcfclEi-Iii] = О при к > і или к < г - 1, Ек,к-іЕк+і,к — 2Efcifc_iEfc+iifcEfcifc_i 4- Ek+i,kEkk_x = О, ^к+і,к^к,к-і — 2Ек+і,кЕк,к-іЕк+і,к + Ек,к-іЕ%+1к = О,
Ек-і,кЕк,к+і — 2Efc_ljfcEfcifc+iEfc_iifc 4- Ек,к+іЕІ_1>к = О,
