Математические основы теории симетрии - Голод П.И.
Скачать (прямая ссылка):
(flh)(g) = fl(g)h(g), 1(g) = I-
Умножение является отображением si х si -> si. Алгебра si коммутативна. § 1. Алгебры Хопфа 437
Групповые операции в G позволяют ввести в si другие операции, а именно
а) коумножение Д: si = FunG —> Fun (G х G);
б) коединицу є: si —» С;
в) антипод S: si -? si. Они определяются формулами
(Af)(gl,g2) = f(glg2), gl,g2 Є G, (1.5)
e(f) = /(e), (1-6)
(SfHg) = Hg-1), g?G, (1.7)
где e — единица группы G. Легко проверить, что отображения Д, є и S — гомоморфизмы из si в соответствующие алгебры.
Умножение и коумножение в si определяются также с помощью тензорного произведения. А именно, если G — конечная группа или группа Ли, то пусть FunG — алгебра многочленов на G: FunG = PolG. Тогда
Pol (G X G) ~ PolG ® PolG = si ® si.
Элементы из алгебры si ® si представляют собой конечные
линейные комбинации /і®/,') fit /і Є si, причем умножение t
определяется формулой
Cfi ® /2)(/11 ® h2) = Z1Zi1 ® M2,
а единицей служит элемент І®1. В этом случае умножение m в si можно понимать как гомоморфизм из si ® si в si:
(m E л ® л) (я) = E ШШ' (1-8)
а коумножение Д как отображение из si в si ® si. Подобным образом определяются m и Д в случае, когда
Fun (GxG) = Fun G ® Fun G 438
Глава 2,
и под FunGgiFuiiG понимается пополнение тензорного произведения (как, например, в случае L2(G х G) = L2(G)® L2(G)).
Групповые свойства приводят к тому, что гомоморфизмы Д, є и S имеют дополнительные свойства. А именно, ассоциативность (gigz)g3 = gifega) групповой операции приводит к равенству
С помощью коумножения левую часть этого равенства можно представить в виде
f((gig2)gs) = {[(A ® id) о A]f}(gl,g2,g3) Є st ® st ® st,
f(gi(g2gs)) = {[(id ® Д) о A]f}(gl,g2,g3) Є st® si® si,
где id — тождественное отображение si на si. Поэтому коум-ножение (1.5) удовлетворяет равенству
которое записывают в виде коммутативной диаграммы
f((glg2)gs) = f(gl(g2gs)), і est.
а правую — в виде
(Д ® id) о Д = (id ® Д) о Д,
(1.9)
Поскольку для каждого g Є G имеем eg = ge = g, то f(eg) = f(ge) = f(g), /Є si. Отсюда вытекает такое свойство коединицы:
(є ® id) о Д = (id ® є) о Д = id, (1.11)
записываемое в виде коммутативной диаграммы
(1.12) § 1. Алгебры Хопфа 439
Поскольку g~xg = gg"1 = е, то
Hg-1E) = Hgg-1) = Не). (1.13)
Отсюда и из того, что {Af)(gi,g2) = Hgigz), вытекает, что
{[(S ® id) о A]f}(gllg2) = Hg^1g2).
А поскольку для умножения т: si® si —> si имеем (mF)(g) = = F(g,g), F Є si® si, то
{[m о (S ® id) о = {[(<? ® id) о A]f}(g,g) = Hg^g).
(1.14)
Подобным образом выводим, что
{[m о (id ® S) о A]f}(g) = Hgg-1). (1.15)
Поскольку /(е) = e(f)I(g), то из (1.13)-(1.15) вытекают соотношения
[rao(Seid) о Д](/) = [mo (id®S) о Д](/) = e(f)I, (1.16) которое можно записать в виде коммутативной диаграммы
id®S
/
С
Если G — коммутативная группа, то Hgig2) = f(g2gi), J Є si. Определим линейное отображение <г на si®si, действующее как a(fi ® f2) = f2 ® fi, /1,/2 Є si. Из f{gig2) = f{g2gi) вытекает свойство кокоммутативности коумножения:
его A = А.
Если группа G не является коммутативной, то коумножение не является кокоммутативным. 440
Глава 2,
1.3. Коалгебры и биалгебры. В теории алгебр Xon-фа ассоциативной алгеброй называют (комплексное) векторное пространство si, наделенное линейным отображением т: si ® si —> si, называемым умножением, и линейным отображением е: С si, называемым единицей, такими что на si ® si ® si выполняется соотношение
т о (тп ® id) = тп о (id ® тп), (1-17)
а на sl = sl®<C = €,®sl — соотношение
тп о (е ® id) = тп о (id ® е) = id. (1-18)
Свойство (1.17) называют ассоциативностью.
Пусть Ac — линейное пространство. Назовем Ac коал-геброй, если Ac наделено линейным отображением A: Ac —> Ac ® Ac (называемым коумножением) и линейным отображением є: Ac —> С (называемым коединицей), такими что на Ac выполняются соотношения
(A®id)oA = (id®Д)оД, (e®id)oA = (id®e)oA = id. (1.19)
Первое из этих свойств называют коассоциативностъю. Коал-гебру Ac называют кокоммутативной, если его Д = Д, где о — линейное отображение Ас® Ac в Ac® Ac, такое что cr(a®b) = = Ь®а для всех а,Ь Є Ac.
Если Д(а) записать в виде
Д(а) = E ftlf ® o2*' й2і є А°' і
то коассоциативность значит, что
E ® (a«)2i ® "2. = E E аи ® (a2t)u ® (а2<)2j-
з і j і
Свойство (1.19) коединицы означает, что
Еє(«іі)а2» = УІацє(а2і)-і і § 1. Алгебры Хопфа 441
Пусть Асн Bc — коалгебры с коумножениями Aj4 и Ab и коединицами є л и Єв соответственно. Тогда линейное отображение ір:Ас Bc называют гомоморфизмом этих коал-гебр, если
Ab о <р = (fp о ip) о АА, Sa = Eb0 V-
Тензорное произведение АС®ВС также наделяется структурой коалгебры с коумножением А а®в (id ® а ® id) о (ЛА ® А в) и коединицей є а® в '¦= ?а®?в, где, как и выше, a(a®b) = Ь®а.
Линейное подпространство В коалгебры Ac является под-коалгеброй, если А (В) С В ® В. Линейное подпространство J коалгебры Ac называют (двухсторонним) коидеалом, если
