Математические основы теории симетрии - Голод П.И.
Скачать (прямая ссылка):
Да=2(А ,а) (а, а) § 5. Представления полупростых алгебр JIu
419
целые и неотрицательные. Веса, удовлетворяющие этому условию, называют доминантными (неотрицательность чисел Ла) и целочисленными. Приведенные утверждения являются частью следующей теоремы.
Теорема 1. Существует взаимно однозначное соответствие между попарно неэквивалентными неприводимыми конечномерными представлениями комплексной полупростой алгебры JIu g и целочисленными доминантными линейными формами на подалгебре Картана і) алгебры д. Эти линейные формы являются старшими весами соответствующих им представлений. В пространстве неприводимого конечномерного представления алгебры JIu д существует базис, состоящий из весовых векторов. Если Л — старший вес неприводимого
представления, то любой другой вес этого представления име-I
ет вид Л — где fc,- — целые неотрицательные числа,
»=і
a Qj — простые корни алгебры д. Кратность старшего веса неприводимого представления (то есть размерность собственного подпространства, принадлежащего этому весу) равна единице.
Полное доказательство этой теоремы см., например, в [53].
Веса Л' конечномерных представлений алгебры Ли g (как и корни этой алгебры) часто записывают в виде векторов
Л'= (Ai5A2,... ,Aj), А, " / —
(<*і,<*і)
где I — ранг алгебры g, а а*, і = 1,2,... , I — простые корни.
Важными примерами конечномерных неприводимых представлений полупростой алгебры Ли ранга I являются I представлений со старшими весами (1,0,..., 0), (0,1,0,..., 0), (0,0,1,0,. -., 0),..., (0,... ,0,1). Их называют фундаментальными. Из тензорных произведений этих представлений можно получить каждое неприводимое конечномерное представление. 420
Глава 2,
Бели V — пространство неприводимого конечномерного представления Тд со старшим весом Л, то
V = QVa; (5.1)
Л'
где суммирование ведется по всем весам представления, а Уд' — собственные подпространства операторов Тд(Н), H Є f), принадлежащие весам Л'.
Размерность подпространства Vyy называют кратностью веса Л'. Множество всех весов представления Тд (с учетом их кратностей) называют весовой диаграммой. Поскольку веса являются линейными формами на подалгебре Картана, то определено действие на них элементов группы Вейля алгебры Ли g (см. п. 1.4).
Теорема 2. Весовая диаграмма неприводимого представления комплексной полупростой алгебры Jlu инвариантна относительно ее группы Вейля.
Доказательство этой теоремы можно найти в [23].
Согласно этой теореме, если Л' — вес неприводимого конечномерного представления алгебры Ли g, a W — ее группа Вейля, то для всякого элемента w Є W форма wA' также является весом этого представления. Более того, веса Л и wA' имеют одинаковые кратности.
5.3. Характеры представлений. Весовые диаграммы конечномерных неприводимых представлений тесно связаны с характерами представлений связной односвязной полупростой группы Ли. Действительно, рассмотрим связную односвязную полупростую компактную группу Ли Gfc. Диагональная подгруппа в ней совпадает с подгруппой ехр I^, где fjfc — коммутативная подалгебра в алгебре Ли д* группы Gfc, натянутая на базисные элементы LH1, LH2, (для простоты будем считать, что группа Gfc линейна). Поскольку в компактной линейной группе каждая матрица сопряжена к диагональной матрице, а характеры представлений являются функциями на классах сопряженных элементов (см. п. 1.7 гл. 3), то характеры конечномерных представлений группы Gfc однозначно определяются своими значениями на подгруппе expfjfc. Так как операторы неприводимого § 5. Представления полупростых алгебр JIu
421
конечномерного представления, соответствующие элементам подгруппы expfjfc, диагональны в весовом базисе с числами ехр Aj(ІНr), LHr Є fjfc, на диагонали, то характер х(ехр iff), iff Є f)fc, имеет вид
n
Х(ехрiff) = Y ехр(Ai(Iff))5 (5.2)
j=i
где суммирование ведется по всем весам представления, причем для каждого веса соответствующее слагаемое встречается столько раз, какой является кратность веса.
В формуле (5.2) характер допускает аналитическое продолжение на множество всех элементов из подалгебры Картана fj комплексификации g алгебры Ли 0?. Полученное аналитическим продолжением выражение является характером соответствующего неприводимого представления комплексной группы Ли G, являющейся комплексификацией компактной группы Gk-
Доказывается (см. [10] и [23]), что для характеров (5.2) неприводимых представлений Т\ со старшим весом А верна такая формула:
v E (det w) exp(w(A + р), iff)
/ ТТЛ Ал(ш) _ Wtw Хк (ехр iff) = ——— =-,
К ' E (det W) ехр(и;р, iff)
weW
(5.3)
где суммирование ведется по всем элементам группы Вейля W алгебры Ли 0, определитель det w элемента w Є W равен +1 или —1 в зависимости от того, произведением четного или нечетного числа отображений Sa он является, скалярное произведение (•, •) определено в п. 1.4 и р равняется половине суммы всех положительных корней алгебры 0. Заметим, что поскольку группа Вейля W конечна, то суммы в числителе и знаменателе правой части формулы (5.3) конечны. Отметим также, что A (iff) из формулы (5.3) можно записать в виде
