Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Голод П.И. -> "Математические основы теории симетрии" -> 132

Математические основы теории симетрии - Голод П.И.

Голод П.И., Климык А.У. Математические основы теории симетрии — Москва, 2001. — 528 c.
Скачать (прямая ссылка): matematosnoviteorsimetr2001.djvu
Предыдущая << 1 .. 126 127 128 129 130 131 < 132 > 133 134 135 136 137 138 .. 154 >> Следующая


2.2. Универсальная Д-матрица и уравнение Янга-Бакстера. Коммутационные соотношения (2.2) и (2.3) не зависят от перехода от q к q-1. Однако это свойство не сохраняется для операций (2.5)-(2.7). Другими словами, алгебры Хопфа Uq(sl2) и {79-і(5І2) не совпадают. Пусть сг — линейная операция в Uq(Bl2) ® Uq(sl2), действующая на элементы а ® 6 Є Uq(Sl2) ® Uq(Si2) перестановкой: <г(а ®Ь) = Ь® а. §2. Квантовая алгебра {/,(sh) 453

Легко проверить, что если вместо Д и S ввести соответственно операции

Д' = <т о Д, S' = S-1,

то Д', S' и є будут определять структуру алгебры Хопфа на ассоциативной алгебре Uq(Sl2)- Из (2.5)-(2.7) видно, что полученная алгебра Хопфа совпадает с Uq-i(sl2).

Простая (но громоздкая) проверка показывает, что операции AhA' связаны соотношением

A'(а) = RA(Ci)R-1, а Є Ug(sI2),

где элемент R из расширения Uq(sl2)®Uq(sl2) алгебры Uq(sl2) ® Uq(sl2) (подробное описание этого расширения см., например, в [76]), содержащего бесконечные суммы элементов а ® Ь Є Uq(Sl2) ® Uq(sI2), определяется формулой

R = ехр H ® Hj X

X E 1l^ {(«р I") * Г • {(«¦> * -}" •

71=0 L J V Х ' '

(2.12)

а элемент R-1 связан с R соотношением

(S®id)R = R-1.

В (2.12) через [о], а є С, обозначено q-число, определяемое формулой

W = (2-13)

q-q

и при целом положительном т g-факториал [т]! определяется аналогично обычному факториалу:

[m]! = [l][2]...[m], (2.14)

Элемент (2.12) называется универсальной R-матрицей. Легко проверить, что в

Uq(sl2f = Uq(sl2)®Uq(sl2)®Uq(sl2) 454

Глава 2,

выполняются соотношения

(Д <g> id)R = R13R23, (id <g> Д )R = R13R12,

(2.15)

(2.16)

где индексы і и j при R показывают, что соответствующее R берется в І-М и J-M множителях. Из формул (2.15) и (2.16) вытекает соотношение

называемое квантовым уравнением Янга - Бакстера. Оно играет важную роль в теории квантования.

2.3. Конечномерные представления алгебры IZq(Sl2): q не корень из единицы. В п. 2.3-5 считаем, что q не является корнем из единицы.

Под конечномерным представлением T алгебры Uq(si2) (рассматриваемой как алгебра Хопфа или ассоциативная алгебра) понимается гомоморфизм ассоциативной алгебры Uj^si2) в алгебру линейных операторов в конечномерном линейном пространстве Sj. Чтобы задать представление Т, достаточно

задать операторы Т(Е+), Т(Е_), T(k) = T(qH/2) и Т(к~г) =

где под коммутатором понимается выражение [А, В]= AB—BA.

Важным результатом теории представлений алгебры Ug(si2) является следующая теорема, являющаяся аналогом соответствующей теоремы для представлений алгебры Ли si2.

Теорема 1. Если q не является корнем из единицы, то каждое конечномерное представление алгебры Ug(si2) вполне приводимо.

Доказательство этой теоремы см., например, в [76], гл. 3.

Каждому неотрицательному целому или полуцелому числу I поставим в соответствие комплексное линейное пространство Sji с базисом em, т = — I, — Z+1,... ,1, и операторы Ti(E+),

R12R13R23 — R23R13R12,

(2.17)

(2.18)

(2.19) §2. Квантовая алгебра Uq(sh) 455 Ti(E-), Ti(H), действующие в fjj согласно формулам

Ti(E+)em = [I - т}ет+1, Т,(Е-)ет = [1 + ттг]ет_і, (2.20)

Ti(qH/2)em = qmem, (2.21)

где g-числа [n] задаются формулой (2.13). Непосредственно проверяется, что операторы (2.20) и (2.21) удовлетворяют соотношениям (2.18) и (2.19) и поэтому задают представления алгебры Uq(Sl2), обозначаемые через Tj. Точно так же, как в классическом случае (см. п. 5.4 гл. 3), показывается, что представления Tj неприводимы.

Представления Tj, I = 0,|,1,алгебры Uq(sl2) попарно неэквивалентны, поскольку имеют различные размерности.

Если q — положительное число, то операторы Ti(E±) и T(q±H/2) удобно записывать в ином виде. Для этого от базиса ет, m = —l,—l + 1,... ,/, переходим к базису е^, m = — I, — I + 1,... , I, где

e^ = ([/ + m]![/-m]!)-1/2em.

Тогда

Tt(E+)e'm = y/[l-m][l + m + l]e'm+1, (2.22) Т,(Е-)е'т = д/Р+"»IP-m + lKn-i, (2.23) T,(qH/2)e'm = gme'm. (2.24)

До начала п. 2.6 считаем, что q — положительное число. Введя в 9)i скалярное произведение, в котором базис е'т, т = —I, —1 + 1,... ,I, ортонормирован, имеем

Т,(Е±У = Т(Ет), TM11'2)* = T(<fl\

Сопоставляя эти формулы с формулами (2.9), убеждаемся, что представления Tj являются ^-представлениями вещественной формы Uq(Su2) алгебры Uq(Sl2).

Оператор Казимира T(Cq) для представления Tj кратен единичному оператору:

/+і + -/-1 456 Глава 2,

Представления Tj алгебры CZg(Sl2) можно реализовать в пространствах Sji однородных многочленов степени 21 от

двух переменных SMt. Введя оператор (/-производной

q-q

положим

T1'(Е+) = sDt, Т{(Е-) = tDs, Tl(H) =Sds-tdt (2.25) и введем положительно определенное скалярное произведение

(f,F) = f(Ds,Dt)F(s, 0|м=о в Sji- Поскольку DxXn = [nja;"-1, то одночлены

„l+mJ-m

em(s,t) =—======, m = -1,-1 + 1,... ,1,

Vll + m]![Z - m]!

где под корнем стоят g-факториалы, образуют ортонормиро-ванный базис пространства Sji, который является (/-аналогом базиса (5.13) гл. 3. Операторы (2.25) действуют на эти базисные элементы по формулам (2.22)-(2.24), то есть эти операторы действительно задают представление алгебры Ug(Sl2), эквивалентное представлению Tj.
Предыдущая << 1 .. 126 127 128 129 130 131 < 132 > 133 134 135 136 137 138 .. 154 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed