Математические основы теории симетрии - Голод П.И.
Скачать (прямая ссылка):
2.2. Универсальная Д-матрица и уравнение Янга-Бакстера. Коммутационные соотношения (2.2) и (2.3) не зависят от перехода от q к q-1. Однако это свойство не сохраняется для операций (2.5)-(2.7). Другими словами, алгебры Хопфа Uq(sl2) и {79-і(5І2) не совпадают. Пусть сг — линейная операция в Uq(Bl2) ® Uq(sl2), действующая на элементы а ® 6 Є Uq(Sl2) ® Uq(Si2) перестановкой: <г(а ®Ь) = Ь® а.§2. Квантовая алгебра {/,(sh) 453
Легко проверить, что если вместо Д и S ввести соответственно операции
Д' = <т о Д, S' = S-1,
то Д', S' и є будут определять структуру алгебры Хопфа на ассоциативной алгебре Uq(Sl2)- Из (2.5)-(2.7) видно, что полученная алгебра Хопфа совпадает с Uq-i(sl2).
Простая (но громоздкая) проверка показывает, что операции AhA' связаны соотношением
A'(а) = RA(Ci)R-1, а Є Ug(sI2),
где элемент R из расширения Uq(sl2)®Uq(sl2) алгебры Uq(sl2) ® Uq(sl2) (подробное описание этого расширения см., например, в [76]), содержащего бесконечные суммы элементов а ® Ь Є Uq(Sl2) ® Uq(sI2), определяется формулой
R = ехр H ® Hj X
X E 1l^ {(«р I") * Г • {(«¦> * -}" •
71=0 L J V Х ' '
(2.12)
а элемент R-1 связан с R соотношением
(S®id)R = R-1.
В (2.12) через [о], а є С, обозначено q-число, определяемое формулой
W = (2-13)
q-q
и при целом положительном т g-факториал [т]! определяется аналогично обычному факториалу:
[m]! = [l][2]...[m], (2.14)
Элемент (2.12) называется универсальной R-матрицей. Легко проверить, что в
Uq(sl2f = Uq(sl2)®Uq(sl2)®Uq(sl2)454
Глава 2,
выполняются соотношения
(Д <g> id)R = R13R23, (id <g> Д )R = R13R12,
(2.15)
(2.16)
где индексы і и j при R показывают, что соответствующее R берется в І-М и J-M множителях. Из формул (2.15) и (2.16) вытекает соотношение
называемое квантовым уравнением Янга - Бакстера. Оно играет важную роль в теории квантования.
2.3. Конечномерные представления алгебры IZq(Sl2): q не корень из единицы. В п. 2.3-5 считаем, что q не является корнем из единицы.
Под конечномерным представлением T алгебры Uq(si2) (рассматриваемой как алгебра Хопфа или ассоциативная алгебра) понимается гомоморфизм ассоциативной алгебры Uj^si2) в алгебру линейных операторов в конечномерном линейном пространстве Sj. Чтобы задать представление Т, достаточно
задать операторы Т(Е+), Т(Е_), T(k) = T(qH/2) и Т(к~г) =
где под коммутатором понимается выражение [А, В]= AB—BA.
Важным результатом теории представлений алгебры Ug(si2) является следующая теорема, являющаяся аналогом соответствующей теоремы для представлений алгебры Ли si2.
Теорема 1. Если q не является корнем из единицы, то каждое конечномерное представление алгебры Ug(si2) вполне приводимо.
Доказательство этой теоремы см., например, в [76], гл. 3.
Каждому неотрицательному целому или полуцелому числу I поставим в соответствие комплексное линейное пространство Sji с базисом em, т = — I, — Z+1,... ,1, и операторы Ti(E+),
R12R13R23 — R23R13R12,
(2.17)
(2.18)
(2.19)§2. Квантовая алгебра Uq(sh) 455 Ti(E-), Ti(H), действующие в fjj согласно формулам
Ti(E+)em = [I - т}ет+1, Т,(Е-)ет = [1 + ттг]ет_і, (2.20)
Ti(qH/2)em = qmem, (2.21)
где g-числа [n] задаются формулой (2.13). Непосредственно проверяется, что операторы (2.20) и (2.21) удовлетворяют соотношениям (2.18) и (2.19) и поэтому задают представления алгебры Uq(Sl2), обозначаемые через Tj. Точно так же, как в классическом случае (см. п. 5.4 гл. 3), показывается, что представления Tj неприводимы.
Представления Tj, I = 0,|,1,алгебры Uq(sl2) попарно неэквивалентны, поскольку имеют различные размерности.
Если q — положительное число, то операторы Ti(E±) и T(q±H/2) удобно записывать в ином виде. Для этого от базиса ет, m = —l,—l + 1,... ,/, переходим к базису е^, m = — I, — I + 1,... , I, где
e^ = ([/ + m]![/-m]!)-1/2em.
Тогда
Tt(E+)e'm = y/[l-m][l + m + l]e'm+1, (2.22) Т,(Е-)е'т = д/Р+"»IP-m + lKn-i, (2.23) T,(qH/2)e'm = gme'm. (2.24)
До начала п. 2.6 считаем, что q — положительное число. Введя в 9)i скалярное произведение, в котором базис е'т, т = —I, —1 + 1,... ,I, ортонормирован, имеем
Т,(Е±У = Т(Ет), TM11'2)* = T(<fl\
Сопоставляя эти формулы с формулами (2.9), убеждаемся, что представления Tj являются ^-представлениями вещественной формы Uq(Su2) алгебры Uq(Sl2).
Оператор Казимира T(Cq) для представления Tj кратен единичному оператору:
/+і + -/-1456 Глава 2,
Представления Tj алгебры CZg(Sl2) можно реализовать в пространствах Sji однородных многочленов степени 21 от
двух переменных SMt. Введя оператор (/-производной
q-q
положим
T1'(Е+) = sDt, Т{(Е-) = tDs, Tl(H) =Sds-tdt (2.25) и введем положительно определенное скалярное произведение
(f,F) = f(Ds,Dt)F(s, 0|м=о в Sji- Поскольку DxXn = [nja;"-1, то одночлены
„l+mJ-m
em(s,t) =—======, m = -1,-1 + 1,... ,1,
Vll + m]![Z - m]!
где под корнем стоят g-факториалы, образуют ортонормиро-ванный базис пространства Sji, который является (/-аналогом базиса (5.13) гл. 3. Операторы (2.25) действуют на эти базисные элементы по формулам (2.22)-(2.24), то есть эти операторы действительно задают представление алгебры Ug(Sl2), эквивалентное представлению Tj.