Математические основы теории симетрии - Голод П.И.
Скачать (прямая ссылка):
Между конечномерными комплексно-аналитическими представлениями комплексных связных групп Ли и конечномерными вещественно-аналитическими представлениями их вещественных форм также существует взаимно однозначное соответствие. Чтобы получить представление вещественной формы, достаточно рассмотреть представление комплексной группы Ли только на элементах вещественной формы. Чтобы по представлению вещественной формы найти соответствующее представление комплексной группы (являющейся комплексификацией рассматриваемой вещественной группы), необходимо вещественные параметры вещественной группы аналитически продолжить в комплексную область и соответственно этому операторы представления вещественной группы как аналитические функции вещественных параметров продолжить в комплексную область до представлений комплексной группы. Если параметризация вещественной группы задана локально, то достаточно продолжить в комплексную область представление окрестности единицы группы. В результате получим комплексно-аналитическое представление окрестности единицы комплексной группы Ли. Связная группа Ли порождается (путем умножения элементов) каждой окрестностью единицы. Таким образом, представление окрестности единицы однозначно приводит к представлению всей связной группы.
Согласно изложенному выше, если рассматривать только комплексно-аналитические представления комплексных § 5. Представления полупростых алгебр JIu
417
групп Ли и комплексные представления комплексных алгебр Ли, то классификация конечномерных неприводимых представлений одного из соответствующих друг другу объектов — связная комплексная группа Ли, ее вещественная форма, комплексная алгебра Ли, ее вещественная форма — приводит к классификации конечномерных неприводимых представлений остальных объектов.
Комплексно-аналитические конечномерные неприводимые представления комплексной группы Ли G не исчерпывают все ее конечномерные неприводимые представления. Например, представление, полученное из комплексно-аналитического конечномерного представления комплексным сопряжением (если представления заданы в матричной форме, то комплексное сопряжение приводит к комплексному сопряжению матричных элементов), также является неприводимым. Такие представления называют комплексно-антианалитическими. Доказывается (см. [23] или [44]), что конечномерное вещественно-аналитическое неприводимое представление комплексной полупростой группы JIu является тензорным произведением неприводимых комплексно-аналитического и комплексно-антианалитического представлений.
5.2. Классификация конечномерных неприводимых представлений. Пусть g — комплексная полупростая алгебра Ли, a T — ее конечномерное комплексное неприводимое представление. Если fj — подалгебра Картана алгебры д, то все операторы T(H), H Є і), можно одновременно диагона-лизировать. Действительно, рассмотрим представление T на компактной вещественной форме д* алгебры Ли д. Алгебра Ли gfc имеет базис (3.2). Поскольку конечномерное представление компактной группы можно сделать унитарным, то операторы ехр tT(\Hj), j = 1,2,... ,1, унитарны, то есть операторы T(H1),... ,Т(Щ) эрмитовы. Поскольку они коммутируют друг с другом, то они одновременно диагонализируются.
Пусть Єі,Єг,... ,еп (п — размерность представления Т) — линейно независимые собственные векторы операторов T(H), H Є і). Тогда
T(H)ej = Aj(H)ej, Heb, 418
Глава 2,
где Aj — линейные формы на fj. Эти линейные формы называют весами представления T, а собственные векторы ej — весовыми векторами.
Если X — весовой вектор веса Л', a Ea — корневой элемент алгебры д, отвечающий корню а, то T(Ea)-X. — весовой вектор, принадлежащий весу Л' + а. Действительно, поскольку [Н,Еа] = а{Н)Еа, то
T(H)(T(Ea)X) = [T(Ea)T(H) + а(Н)Т(Еа)]х = = [A1(H) + а(Н)]Т(Еа)х.
В неприводимом представлении каждый ненулевой вектор X является циклическим, то есть действуя на X операторами представления, получаем множество векторов, на которое натягивается все пространство представления. Поскольку представление T неприводимо, то его веса Л і получаются друг из друга прибавлением корней (положительных или отрицательных).
Будем действовать на весовой вектор х операторами T(Ea), где а — положительные корни. Поскольку представление T конечномерно, а векторы, принадлежащие разным весам, линейно независимы, то после конечного числа действий такими операторами придем к весовому вектору у, у ф 0, такому что Т(Еа)у = 0 для всех положительных корней ct. Пусть Л — вес вектора у. Вектор у называют старшим вектором, или вектором старшего веса, а вес Л — старшим весом представления Т.
Доказывается (см., например, [23]), что в пространстве неприводимого представления T с точностью до константы существует один вектор старшего веса и представление T с точностью до эквивалентности однозначно определяется старшим весом. Таким образом, не существует неэквивалентных представлений полупростой алгебры Ли 0 с одним и тем же старшим весом. Более того, доказывается, что старший вес А неприводимого конечномерного представления алгебры 0 удовлетворяет такому условию: для положительных корней а алгебры 0 числа
