Математические основы теории симетрии - Голод П.И.
Скачать (прямая ссылка):
[а,а+]д := аа+ - qa+a = q
,+
,-N
qNq-» = q-Nq» = l, (3.1) qNa = q^aq". (3.2)
(3.3)
элемент
C9 := 91_JV([iV]9 - a+a) = <?~n[N]9 + q~2N - q-Nau+, (3.4)466
Глава 2,
где [N]q := (qN — q~N)/{q — Q-1), принадлежит центру алгебры Ag. Можно показать, что если q не является корнем из единицы, то центр Sf алгебры Aq порождается элементом сд.
Пусть теперь q — корень из единицы, то есть qp = 1, где qn Ф 1 при 1 ^ п < р. Считаем, что р нечетно. Тогда элементы (а+)р, ар, (qN)p, {q~N)p принадлежат центру алгебры Aq. Действительно, из (3.1) и (3.2) вытекает, что
а(а+)п = Kte+r-V" + q~n(a+)na, (a+)nq~N = qnq'N(a+)n.
Полагая n = p и учитывая, что qp = 1 и [р]9 = 0, видим, что (а+)р Є Sf. Доказательство для ар и {q±N)p аналогично.
Соотношения (3.1) и (3.2) не симметричны относительно замены q на q~l. Поэтому наряду с алгеброй Aq рассматривают симметричную q-осцилляторную алгебру A8q, порождаемую элементами а+, a, qN, q~N, удовлетворяющими соотношениям (3.1), (3.2) и соотношению
[в, e+]9-i := аа+ - q_1a+a = qN. (3.5)
Из (3.1) и (3.5) для алгебры A8q выводим
а+а = [N]q, аа+ = [N + 1]д. (3.6)
Отсюда вытекает, что [iV]9?+ = а+аа+ = a+[N + l]g, e[iV]9 = аа+а = [N + 1 }да.
Заметим, что алгебра Aq является фактор-алгеброй алгебры Aq по двухстороннему идеалу J, порожденному элементом аа+ — q~la+a — qN. Поскольку в определении алгебры A8q соотношение (3.5) может быть заменено на первое соотношение в (3.6), то идеал J порождается также центральным элементом Сд. Поэтому элемент Cg переходит в нулевой элемент в алгебре A8q. Это значит, что если q не является корнем с единицы, то алгебра A8q имеет центр, совпадающий с С • 1.
В Aq и A8 можно ввести +-структуры, превращающие эти алгебры в +-алгебры. Если q вещественно, то такие +-структуры как в Ag, так ив A8q определяются формулами
а* = а+, (qN)' = qN.§3. q-осцилляторная алгебра и алгебра t/,(slj)
467
Бели |q| = 1, то алгебра Aq является »-алгеброй с +-структурой, определяемой формулами а* = а+, (Qjv)* = q~N¦
3.2. Неприводимые представления: q — не корень из единицы. Если Q не является корнем с единицы, то (в отличие от квантовой алгебры Uq(Sl2)) алгебры Aq и Aq имеют только бесконечномерные неприводимые представления. Определение таких представлений может быть разным. Мы принимаем такое определение. Гомоморфизм T из Aq в алгебру операторов в векторном пространстве V называют представлением алгебры Aq, если V имеет базис, состоящий из собственных векторов оператора T(qN), и выполняются соотношения
[T(a),T(a+)]q = Q-1W T(N)T(a+) = Т(а+) (T(N) +1),
(3.7)
T(a)T(N) = (T(N) + I)T(a), (3.8)
где T(N) — оператор, определенный на собственных векторах |и/) оператора T(Qjv)--T(Qjv)(W)=QwIw) формулой T(N) И = w/|w).
Представления алгебры Aq определяются так же с той разницей, что к соотношениям (3.7) и (3.8) добавляется соотношение
[Г(а), Т^+)],-, =Qr^. (3.9)
Ясно, что каждое представление алгебры Aq является представлением алгебры Aq, а представление алгебры Aq является представлением алгебры A8q только тогда, когда его операторы Т(а), Т(а+), T(N) удовлетворяют соотношению (3.9).
Пусть T — представление алгебры Aq в векторном пространстве V, а Iад) — собственный вектор оператора T(N) с собственным значением w. Изучение неприводимых представлений алгебры Aq базируется на таких утверждениях:
(i) T(a+)|w/) = 0 или Т(а+)|и/) — собственный вектор оператора T(N) с собственным значением щ + 1.
(ii) T(a)lw) = 0 или T(a)\w) — собственный вектор оператора T(N) с собственным значением w — 1.
(iii) Если T — неприводимое представление, то — собственный вектор для Т(а+)Т(а) и Т(а)Т(а+).468 Глава 2,
. Докажем утверждение (iii). (Другие случаи доказываются аналогично.) Поскольку T — неприводимое представление, то Т(сд) = а-1 для некоторого а Є С. Следовательно,
T(C11)Iw;) = в1—МИ - Т(а+)Т(а)И =
= (91_wN + «_2")И - T(q-N)T(a)T(a+)\w) = а\w).
Поэтому И — собственный вектор для Т(а+)Т(а) и Т(а)Т(а+).
Пусть T — неприводимое представление алгебры Aq и Iw) — собственный вектор оператора T(N). Относительно действия операторов Т(а+) и Т(а) на вектор |ги) существуют три возможности:
1) Существует число п Є Z+, такое что Т(а)"И = 0. Тогда T называют представлением с младшим весом.
2) Существует число п Є Z+, такое что T(e+)n|w/} = 0. Тогда T называют представлением со старшим весом.
3) Для всякого пЄІ+ имеем T(e)n|w/)/0 и T(e+)n|w/)^0.
Пусть W — комплексное число и пусть V+ — векторное пространство с базисом |и/ + т), т = 0,1,2,..., a V- — векторное пространство с базисом |и/ — тп), тп = 0,1,2,____Тогда
операторы T+(N), Т+(а+) и Т+(а) на пространстве V+, задаваемые формулами
T+(N)\w +m) = (w + m)|w/ + тп), Т+(а+)|гу + тп) = |гу + тп + 1), T+(a)\w + m) = q~w[m)q\w + тп- 1),
где |гу — 1) := 0, определяют неприводимое представление алгебры Aq с младшим весом. Подобным образом, операторы T~(N), Т~(а+) и Т~(а) на пространстве V-, задаваемые формулами
T~(N)\w — тп) = (w — m)\w — m), T1J(O)Iw; - m) = |гу - m - 1),