Классическая механика - Голдстейн Г.
Скачать (прямая ссылка):
Обращаясь теперь к равенству (9.26), мы видим, что так как
а,; являются новыми импульсами, то сумма ^ aiqi может быть записана
(9.25Ь)
Wi = *iqi (1Ф 1),
то для W будем иметь:
П
W=W1 + ^iaiqi.
(9.26)
г = 2
W=WX (г) + оур,
(9.27)
п
в виде
п
2 Ptgt.
что для координат ..., qn представляет производящую функцию
тождественного преобразования [см. равенство (8.19)].
310
МЕТОД ГАМИЛЬТОНА ЯКОБИ
[гл. 9
где а? - постоянный кинетический момент р9, соответствующий координате
ср. Уравнение Гамильтона - Якоби запишется в данном случае следующим
образом:
1
2т
dW, \2 а2'
) +$+V(.r)^*v (9-28)
дг
где ах- постоянная, имеющая простой физический смысл: это - полная энерг
получаем
ная энергия системы. Разрешая уравнение (9.28) относительно
, / <*2
откуда
U7 = J dr у^2m(ax - V) - +
При такой характеристической функции равенства (9.22Ь) принимают вид:
'i + Pi=Sr= -=¦==% (9.29а)
¦ у2 ...
2т ("1- У)-г2
dW г аф dr
j - /-- -=-г+<р- (9-29b)
/-2"|/ 2т (ctj - V)
Первое из них определяет г как функцию t и совпадает с равенством (3.18),
в котором Gtj и а9 выражены через Е и /.
Ранее отмечалось, что (п - 1) последних уравнений (9.22Ь) [в данном
случае одно уравнение (9.29Ь)] определяют уравнение
траектории. Полагая в (9.29Ь) и - у, будем иметь
I
da
/2т
Т("'-
V)-
что при отождествлении (32 с fo совпадает с равенством (3.37), полученным
ранее для орбиты точки.
На этом простом примере можно ясно видеть мощность и изящество метода
Гамильтона - Якоби, позволившего нам быстро получить уравнение орбиты и
зависимость г от t, что раньше требовало больших выкладок. Разделение
переменных в уравнении Гамильтона- Якоби не ограничивается, конечно, тем
случаем, когда лишь одна координата является нециклической. Если,
например, гамиль-
§ 9.5]
ПЕРЕМЕННЫЕ ДЕЙСТВИЕ УГОЛ
311
тониан рассмотренной сейчас точки написать в сферических координатах, то
из трёх координат циклической будет лишь одна - угол ср. Однако уравнение
Гамильтона - Якоби будет и в этом случае допускать разделение переменных
(см. § 9.7).
§ 9.5. Переменные действие - угол. Во многих разделах физики важную роль
играют системы, движение которых является периодическим. В таких системах
нас часто интересуют не столько подробности траекторий их точек, сколько
частоты этих движений. Мы сейчас рассмотрим весьма изящный и эффективный
метод исследования таких систем, основанный на методе Гамильтона-Якоби. В
этом
Рис. 63. Траектория изображающей точки в фазовом пространстве в случае
периодического движения системы с одной степенью свободы.
методе в качестве новых импульсов выбираются не постоянные а{,
непосредственно входящие в полный интеграл уравнения Гамильтона- Якоби, а
подходящим образом определённые постоянные образующие п независимых
функций от а*. Они носят название действий.
Прежде чем вводить эти переменные, необходимо точно определить смысл
термина "периодическое движение". Рассмотрим сначала систему с одной
степенью свободы. Фазовым пространством такой системы является двумерная
плоскость, и здесь можно различать два вида периодического движения:
1. Движением первого типа является такое, при котором q(t) и p{t) суть
две периодические функции времени с одинаковым периодом. Такое движение
характерно для колебательных систем, например для линейного
гармонического осциллятора с одной степенью свободы. Для этих движений
часто применяют астрономический термин либрация. Так как значения
переменных q и р повторяются при этом движении через каждый период, то
точка, изображающая такую систему, описывает в фазовом пространстве
замкнутую траекторию (рис. 63, а).
2. Во втором типе периодического движения само q не изменяется
периодическим образом, но является таким, что при увеличении
312
МЕТОД ГАМИЛЬТОНА ЯКОБИ
[гл. 9
его на некоторую величину q0 конфигурация системы, в сущности, не
изменяется. Наиболее простым примером такого движения является движение
твёрдого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси. Координатой q здесь
является угол поворота, увеличение которого на 2тг не изменяет положения
тела. В отличие от либрации его называют вращением. Значения q не
являются здесь ограниченными и могут сколь угодно возрастать. Поэтому
траекторией изображающей точки будет в этом случае незамкнутая кривая, но
р будет некоторой периодической функцией q с периодом q0 (рис. 63, Ь).
Следует заметить, что оба вида периодичности могут встретиться в одной и
той же физической системе. Классическим примером такого
рода может служить движение простого маятника, если координатой q считать
угол отклонения Ь. Постоянная энергия этой системы равна
р\
Е=="Шз~ mgl C0S 0' (9-3°)
где I - длина маятника. Разрешая равенство (9.30) относительно /?е,
получаем
рь = У2т12 (Е mgl cos 6), (9.31)
что является уравнением траектории изображающей точки в фазовом
пространстве. Если Е меньше чем mgl, то движение системы будет возможно
лишь при | 0 | < 6', где
6^ = arccos(-A_).
При этих условиях маятник будет колебаться в пределах между - 6' и т. е.
