Классическая механика - Голдстейн Г.
Скачать (прямая ссылка):
и через старые канонические переменные.)
13. Покажите, что если два первых интеграла уравнений движения содержат
явно t, то составленная из них скобка Пуассона всё равно является первым
интегралом этих уравнений.
14. а) Покажите, что если гамильтониан Я и функция Р являются
дР
первыми интегралами уравнении движения, то также будет первым
интегралом.
Ь) В качестве примера рассмотрите равномерное движение свободной точки
массы т. Гамильтониан этой системы является, конечно, первым интегралом;
кроме того, здесь имеется интеграл
р^х-И.
т
Покажите путём непосредственного вычисления, что интеграл -щ совпадает
здесь с [Я, Р].
294 КАНОНИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ [ГЛ. 8]
15. Рассмотрите задачу о сферическом маятнике, пользуясь уравнениями Г
амильтона и выбирая в качестве переменных qt сферические полярные
координаты. С помощью непосредственного вычисления найдите в этих
канонических переменных скобки Пуассона
[?*. ^2/]' \l"i{' Аг]> \Lz> Lx)
и покажите, что они имеют значения, определяемые равенством (8.80).
Ответьте на вопрос, почему pg и Рф можно принять здесь за канонические
импульсы, несмотря на то, что они являются взаимно перпендикулярными
составляющими кинетического момента.
Рекомендуемая литература
L. Nordheim und Е. Fues, Die Hamilton - Jacobische Theorie der Dynamik,
т. V Handbuch der Physik.
Эта статья имеет самое близкое отношение к вопросам, рассмотренным в
настоящей главе, так как она посвящена главным образом каноническим
преобразованиям и скобкам Пуассона. Она, несомненно, может служить одним
из лучших пособий по этим вопросам. Несмотря на своё название, она, в
сущности, содержит теорию Гамильтона-Якоби (см. гл. 9 нашей книги) лишь в
последних параграфах.
Е. Т. Whittaker, Analytical Dynamics.
В главах IX и X этой книги содержится многое из того, что имеется у
Нордхейма и Фюза. Эти вопросы рассматриваются Уиттекером главным образом
с математической точки зрения. (Интересно провести сравнение этих двух
способов изложения.) В книге рассматриваются только такие преобразования,
для которых производящая функция не содержит явно времени.
М. Born, The Mechanics of the Atom.
Канонические преобразования классической механики играли всегда важную
роль также и в квантовой механике. Это относится и к более старой
квантовой теории, принадлежащей Борну, и к современной квантовой
механике. Поэтому работы, посвящённые той или другой форме квантовой
механики, часто содержат подробное изложение нужных разделов классической
механики. Одной из лучших книг такого рода является рекомендуемая книга
Борна (1924), написанная им до появления волновой механики. В первой
главе этой книги даётся сжатое изложение теории канонических
преобразований и приводится много интересных физических примеров. Скобки
Пуассона в этой книге не рассматриваются, так как в современной физике
интерес к ним появился только с возникновением в квантовой механике
теории Гейзенберга и Дирака.
М. Born und P. Jordan, Elementare Quantenmechanik.
В предисловии к своей книге, выпущенной в 1924 г., Борн указывал на
недостатки существовавшей тогда квантовой теории и отмечал, что имеющиеся
трудности, возможно, будут преодолены только после радикальной ревизии
основных принципов квантовой механики. (Положение, подобное тому, которое
сейчас имеется в теории ядерных сил.) Предсказание Борна вскоре сбылось,
и в 1929 г. он совместно с Иорданом выпустил рекомендуемую здесь книгу.
Как и в предыдущей работе, здесь некоторое место отводится классической
механике, в частности рассматриваются скобки Пуассона, приводящие к
весьма интересным результатам. Этот вопрос изложен в Приложении III, где
рассматривается также связь скобок Пуассона с кинетическим моментом.
.A. Sommerfeld, Atomic Structure and Spectral Lines.
Этот классический трактат по старой квантовой механике содержит много
интересного материала по уравнениям Гамильтона и каноническим
РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА
295
преобразованиям. Эти вопросы изложены автором в различных местах главы об
атоме водорода и в некоторых приложениях.
R. С. Tolman, The Principles of Statistical Mechanics.
Эту книгу можно назвать энциклопедией теоретической физики. Глава II
этого большого сочинения содержит краткое, но ясное изложение теории
канонических преобразований, а также других аналогичных вопросов
классической механики, в частности рассматриваются скобки Пуассона. § 19
главы III посвящён теореме Луивилля.
С. Carathdodory, Variationsrechnung.
У нас не было возможности изложить в этой главе канонические
преобразования со всеми математическими подробностями, которые особенно
важны в теории дифференциальных уравнений в частных производных.
Интересующиеся читатели могут ознакомиться с ними в рекомендуемой книге
Каратеодори, являющейся прекрасным введением в круг этих вопросов и
содержащей обильный материал по каноническим и контактным
преобразованиям, а также по различного рода скобкам. Несколько более
короткое изложение этих вопросов можно найти в главе о вариационном
