Классическая механика - Голдстейн Г.
Скачать (прямая ссылка):
являются постоянными:
Так как новый гамильтониан зависит только от одного из импуль-
Единственной координатой, которая отлична от постоянной, является здесь
координата
Зависимость функции W от старых координат qt определяется уравнением
(9.20), которое является дифференциальным уравнением в частных
производных и подобно уравнению Гамильтона-Якоби (9.3). Полный интеграл
его опять будет содержать п независимых постоянных, одна из которых опять
будет аддитивной. Остальные постоянные а2, . . ., а" могут вместе с быть
приняты за новые постоянные импульсы. Полагая в первой половине уравнений
(9.21) ^ = 0, мы можем связать п постоянных 5ц с начальными значениями qi
и р Наконец, разрешая равенства (9.22Ь) относительно qj, мы можем
получить их как функции иг, ,3; и t, чем и заканчивается решение задачи.
Следует заметить, что при г Ф 1 уравнения (9.22Ь) не содержат времени.
Поэтому они позволяют выразить все координаты q^ через какую-либо одну из
них, для чего достаточно считать её известной и разрешить эти уравнения
(при IФ 1) относительно остальных координат. Таким путём мы получим
уравнения траектории движения (в пространстве конфигураций). В случае,
например, центральной силы мы получим г как функцию 0, не отыскивая г и 0
как функции времени.
/>¦ = a
(9.22а)
сов аг, то уравнения движения для Qi примут вид:
(9.22Ь)
§ 9.3] ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ ГАМИЛЬТОНА 305
В качестве новых постоянных импульсов можно брать не ах и константы
полного интеграла для W, а какие-либо п независимых функций от а{.
Обозначая эти постоянные через можно выразить W 'через qi и В общем
случае гамильтониан будет зависеть
более чем от одной из величин yit и уравнения для Qi будут иметь
ВИА п
Qi ~ дЬ ~ ^'
где Vi - функции В этом случае все новые координаты будут
линейными функциями времени:
Qi = V + Pi- (9.220
Физический смысл характеристической функции W подобен физическому смыслу
функции S. Так как время не входит явно в W, то dW ,
полная производная будет равна dW \pdW
dt ~~ Zi dq,- qi~ Piqi'
г г
и следовательно,
w= f HiPiki dt = f 2Pi dqv
J i J i
что представляет собой действие А, рассматривавшееся в § 7.5. Как и
ранее, этот результат оказывает малую практическую помощь, так как W
нельзя найти до получения полного интеграла уравнения Г амильтона -
Якоби.
Мы рассмотрели два метода решения задач механики: один с помощью главной
функции Гамильтона, другой с помощью характеристической функции
Гамильтона. Полученные результаты можно записать теперь в виде следующей
сравнительной схемы.
Эти методы применимы тогда, когда гамильтониан
есть любая функция q, р, t\ H-H(q, р, t).
постоянен:
H(q, р)~ const.
Мы ищем такое каноническое преобразование, при котором
все новые координаты и новые импульсы являются постоянными.
все импульсы Рх являются постоянными.
Чтобы удовлетворить этим условиям, достаточно потребовать, чтобы новый
гамильтониан
был тождественно равен нулю: К = 0.
был циклическим относительно всех координат:
K = tf(Pi) = ar
306
МЕТОД ГАМИЛЬТОНА- ЯКОБИ
[гл. 9
При этих условиях новые уравнения движения будут иметь вид:
Q. - ЁК - 0
дР, и'
Pi =
ЁК.
dQi
¦ О,
п - дк _ ^ ~ дР, ~~
дК
dQi
¦ 0,
а их решениями будут функции:
Qi = f>i-
pi = т*.
удовлетворяющие поставленным условиям. Производящей функцией искомого
преобразования будет
Qi-- Pi>
Pi = Yi>
главная функция Гамильтона
S(q, Р, t).
характеристическая функция Г амильтона
W(q, Р).
Эта функция удовлетворяет уравнению в частных производных, имеющему вид
"/ dS Л . dS "
И(Щ' V + w^0-
Полный интеграл этого уравнения содержит п нетривиальных постоянных
H\q' -щг)-
о.
а,,
п-1 нетривиальных постоянных, образующих вместе с at систему из п
независимых постоянных
а,
а"
i> • ¦ •,
ji можно выбрать п независи-
1 * • • • > "-"•
За новые постоянные импульсы Р мых функций от п постоянных а{:
^>i==Ti(al an)'
и поэтому полный интеграл уравнения Гамильтона рассматривать как функцию
новых импульсов
S = S(4i, Ti> t). I W=W(qit^
(В частности, уг могут быть равны аОдна половина уравнений преобразования
имеет вид
Р% Т i (al ' • • • > (r)n) '
Якоби можно
Pi =
dS_
0<ii
Pi =
dW
dqt
и выполняется автоматически, так как эти равенства использовались при
составлении уравнения Гамильтона - Якоби. Остальные уравнения
преобразования имеют вид
= ^-=8-д-а
Qi-
Qi -¦ ^7 - vi (li) Pi
§ 9.4] РАЗДЕЛЕНИЕ ПЕРЕМЕННЫХ В УРАВНЕНИИ ГАМИЛЬТОНА ЯКОБИ 307
и могут быть разрешены относительно q*, в результате чего qt получатся
выраженными через / и 2я постоянных (3if у*. Окончательное решение задачи
сведётся тогда к выражению 2п постоянных через начальные значения
координат и импульсов (через qi0 и pi0).
Если гамильтониан не содержит явно t, то можно пользоваться любым из этих
методов. Соответствующие производящие функции будут связаны тогда
равенством
S(q, Р, t) = W(q, Р) - "!*.
§ 9.4. Разделение переменных в уравнении Гамильтона - Якоби. Из
содержания предыдущего параграфа может показаться, что метод Гамильтона-
