Классическая механика - Голдстейн Г.
Скачать (прямая ссылка):
будет совершать периодическое движение типа
либрации. Траектория изображающей точки будет при этом подобна кривой 1
на рис. 64.
Однако если Е > mgl, то все значения 6 будут здесь физически возможными,
и 0 будет неограниченно возрастать, т. е. маятник будет совершать
периодическое движение вращательного типа. Физически это объясняется тем,
что маятник обладает достаточно большой энергией, позволяющей ему пройти
через вертикальное положение (в = !г) и, следовательно, непрерывно
вращаться. На рис. 64 этому случаю соответствует кривая 3.
В предельном случае, когда Е - mgl, мы будем иметь картину, которую
изображает кривая 2 на рис. 64.
В системах более чем с одной степенью свободы мы ограничимся
рассмотрением лишь тех задач, в которых уравнение, определяющее
Рис. 64. Траектория изображающей точки в случае простого млятника.
§ 9.5]
ПЕРЕМЕННЫЕ ДЕЙСТВИЕ УГОЛ
313
характеристическую функцию W, является уравнением с разделяющимися
переменными (по крайней мере, для одной системы канонических переменных).
Движение системы мы будем представлять как движение изображающей точки в
многомерном фазовом пространстве (q, р). Будем говорить, что это движение
является периодическим, если, проектируя изображающую точку на каждую
плоскость (Qi> Pi)> мы получаем периодическое движение в обычном смысле
слова (как для системы с одной степенью свободы). Но так как мы
рассматриваем случай полного разделения переменных, то эти движения будут
независимыми, и их можно легко исследовать. Согласно уравнениям
канонического преобразования
Pi='dWt(9t'?]"" ап) ¦ (9.32)
Следовательно, каждое pi является функцией соответствующего qi и п
постоянных ар
Легко видеть, что это уравнение дает проекцию траектории изображающей
точки на плоскость (qit pi). Отсюда следует, что рассматриваемое движение
будет периодическим только тогда, когда кривая (9.33) будет замкнутой или
периодической относительно q
Периоды движений, описываемых парами (qit pi), не обязательно должны быть
одинаковыми. Примером может служить гармонический осциллятор с тремя
степенями свободы в случае, когда три его коэффициента жёсткости
различны. Суммарное движение колеблющейся таким образом точки будет в
этом случае не обязательно периодическим, так как периоды составляющих
движений могут быть здесь несоизмеримыми, и траектория движущейся точки
будет тогда разомкнутой (так называемая "фигура Лиссажу"). Такое движение
называют почти-периодическим.
Теперь мы можем ввести действия Jv ..., Jn, которые в качестве
преобразованных постоянных импульсов будут заменять постоянные а*. Под Jj
мы будем понимать интеграл
взятый за полный период изменения qi (колебания или вращения, смотря по
тому, какой случай имеет место). Термин "действие" употребляется здесь в
связи со сходством интеграла (9.34) с действием А (см. § 7.5), равным по
определению
Pi Pi (Qi' > • • • i &п)"
(9.33)
(9.34)
Согласно уравнению (9.32) можно записать в виде
dW{(qi, "!,..., ап)
314
МЕТОД ГАМИЛЬТОНА ЯКОБИ
[гл. 9
откуда видно, что каждая из величин Jx является функцией п постоянных а*,
входящих в полный интеграл уравнения Гамильтона - Якоби. Но из
независимости пар (qt, Pi) следует, что эти функции являются
независимыми. Следовательно, величины Ji можно принять за новые
постоянные импульсы. Выражая через Jit можно характеристическую функцию W
записать в виде
W- W(ql, ..., qn, Jv Jn),
а гамильтониан - в виде
H=al = H(Jl, .... J"). (9.36)
Заметим, что согласно определению [см. равенство (9.34)] размерность
величин 7г совпадает с размерностью кинетического момента.
Если одна из переменных является циклической, то соответствующий ей
.импульс будет постоянным. Соответствующая траектория в плоскости qipi
будет тогда горизонтальной прямой линией, не имеющей ясно выраженного
периодического характера. Такое движение можно рассматривать как
предельный случай периодического движения вращательного типа, причём
координате qt можно здесь приписать любой период. Но так как во
вращательном движении координатой всегда служит угол, то естественным
периодом такой циклической координаты является величина 2тс. Поэтому
интеграл (9.34) должен в этом случае вычисляться от нуля до 2ti и,
следовательно,
Ji = 2тгЛ (9.340
для всех циклических переменных.
Обобщённые координаты, соответствующие величинам известны под названием
угловых переменных Они определяются равенствами
dW /а о-тч
Щ- dj. ¦ (9.37)
Уравнения, определяющие функции те^(0> будут иметь вид
д.!,
[(Л> (9.38)
где -постоянные величины, являющиеся функциями Jv ..., Jn. Интегрируя эти
уравнения, получаем
wi=V+Pr (9-39)
Следовательно, являются линейными функциями времени [так же,
как в уравнениях (9.22')].
С помощью уравнений (9.37) и (9.39) можно получить как функции t, Vi и
подобно тому как мы это делали в случае, когда
новыми импульсами служили постоянные оц. Однако переменные У4,
§ 9.5]
ПЕРЕМЕННЫЕ ДЕЙСТВИЕ УГОЛ
315
W} не обнаруживают в этом отношении больших преимуществ по сравнению с
