Классическая механика - Голдстейн Г.
Скачать (прямая ссылка):
Якоби не имеет практических преимуществ, так как вместо решения 2п
обыкновенных дифференциальных уравнений он требует решения
дифференциального уравнения в частных производных, что, как известно,
сложнее. Однако при некоторых условиях переменные уравнения Гамильтона-
Якоби можно разделить, и тогда решение задачи удаётся свести к
квадратурам. Именно в этом случае метод Гамильтона - Якоби становится
полезным в практическом отношении.
В дальнейшем мы будем рассматривать только такие системы, гамильтониан
которых является одним из первых интегралов (при этом он не обязательно
должен быть полной энергией). Поэтому мы можем ограничиться рассмотрением
лишь тех канонических преобразований, которые осуществляются функцией,
определяемой соответствующим дифференциальным уравнением в частных
производных. Разделение переменных, которое мы имеем в виду, удаётся
произвести тогда, когда решение вида
W='2lWi(qi, ап)
г
разбивает рассматриваемое уравнение на п уравнений вида
(9-23)
Каждое из полученных таким путём уравнений (9.23) содержит лишь одну
координату и лишь одну частную производную - как раз по этой координате.
Поэтому эти уравнения являются обыкновенными дифференциальными
уравнениями первого порядка, которые можно
dWf
свести к квадратурам, разрешая их относительно 1.
К сожалению, нельзя дать простого критерия, указывающего, когда можно
произвести такое разделение переменных *). В некоторых случаях, например
в известной задаче о трёх телах, его вообще
*) Более подробно этот вопрос рассмотрен в статье Нордхейма и Фюза, (см.
Handbuch der Physik, т. V), а также в книге Франка и Мизеса:
"Differential Gleichungen der Physik", т. 2, гл. 2, § 5, и в литературе,
указанной в этой работе.
308
МЕТОД ГАМИЛЬТОНА - ЯКОБИ
[гл. 9
нельзя осуществить. Однако в системах, представляющих интерес для
современной атомной физики, такое разделение удаётся произвести почти
всегда. Следует подчеркнуть, что решение вопроса о разделении переменных
в уравнении Гамильтона - Якоби зависит от того, какой системой обобщённых
координат мы пользуемся. Например, в задаче о движении точки под
действием центральной силы переменные разделяются в случае применения
полярных координат г и ср и не разделяются в случае применения декартовых
координат х и у. Во многих случаях существует более чех! одна система
координат, допускающая разделение переменных.
Частичное разделение переменных уже применялось нами при решении
уравнения Гамильтона-Якоби в случае, когда Н не является явной функцией
t. В этом случае мы искали S в виде
S(qit cq, t)=W{qt, cq),
что после подстановки в уравнение Гамильтона - Якоби приводит к равенству
Так как первый член этого уравнения содержит только qp а второй- только
t, то оно может удовлетворяться лишь теми функциями, при которых как Н,
так и являются постоянными. Таким образом, мы приходим к уравнениям:
^ = (9-24а)
Н{4р = (9.24Ь)
первое из которых показывает, что S2 = - [см. равенство (9.13)], а второе
является уравнением Гамильтона - Якоби для функции W.
Аналогичное разделение переменных в характеристической функции Гамильтона
можно произвести в том случае, когда все координаты, кроме одной,
являются циклическими. Рассмотрим, например, тот случай, когда
единственной нециклической координатой
является qv Будем искать W в виде
W^Wiiqp Pj).
i
Так как импульсы, соответствующие циклическим координатам,
являются постоянными, то при i ф 1 уравнения преобразования будут иметь
вид
dW{
§ 9.4] РАЗДЕЛЕНИЕ ПЕРЕМЕННЫХ В УРАВНЕНИИ ГАМИЛЬТОНА ЯКОБИ 309
и поэтому уравнение Гамильтона - Якоби запишется в виде
что представляет обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка
относительно Wv и, следовательно, легко может быть решено. Уравнения
(9.25а) и (9.25Ь) полностью определяют характеристическую функцию W, и
так как интегрирование уравнений (9.25а) приводит к равенствам
Можно заметить сходство между равенствами (9.26) и (9.13), определяющими
5 в случае, когда Н не содержит явным образом t. Действительно, их можно
рассматривать как равенства, полученные одинаковым путём. Мы видели, что
t можно рассматривать как обобщённую координату, которой соответствует
канонический импульс - Н. Следовательно, если Н - const, то t можно
рассматривать как циклическую координату, а уравнение (9.24а) - как одно
из уравнений (9.25), справедливых для любых циклических координат *).
В качестве примера рассмотрим задачу о плоском движении точки под
действием центральной силы. Гамильтониан такой системы имеет вид
и является циклическим относительно ср. В соответствии с этим
характеристическую функцию Гамильтона можно записать в виде
*) Равенство (9.26) можно получить также из следующих соображений. Мы
знаем, что W является производящей функцией преобразования, при котором
все новые координаты являются циклическими. Но если координаты <7п Уже
являются циклическими, то для них такое преобразование не нужно. Поэтому
в отношении этих координат преобразование W может быть тождественным.
