Классическая механика - Голдстейн Г.
Скачать (прямая ссылка):
значение, но каковы начальные координаты и скорости каждой молекулы, мы,
конечно, сказать не можем. Поэтому статистическая механика не ищет
точного решения задачи о движении подобных систем, а ставит перед собой
другую цель. Она состоит в том, чтобы дать метод вычисления некоторых
средних величин, характеризующих движение большого числа одинаковых
систем. Эти величины получаются путём вычисления средних значений по всем
системам ансамбля. Каждый член такого ансамбля может, конечно,
характеризоваться любыми начальными условиями, что согласуется с той
неполной информацией, которую мы имеем об этом ансамбле.
Так как каждая такая система изображается некоторой точкой в фазовом
пространстве, то ансамблю этих систем в фазовом пространстве будет
соответствовать некоторое множество точек. В теореме Лиувилля
рассматривается плотность этого множества в какой-либо из его точек и
доказывается, что при движении систем, составляющих ансамбль, она не
изменяется.
Будем обозначать эту плотность через D. Она будет изменяться со временем
вследствие двух причин. Дело в том, что D есть плотность того множества
изображающих точек, которые лежат в окрестности точки, изображающей
данную систему ансамбля. Поэтому здесь будет неявная зависимость D от t,
связанная с тем, что изображающая точка движется в фазовом пространстве и
поэтому координаты её (git pi) изменяются со временем. Кроме того, может
иметь место и явная зависимость D от t, так как плотность может
изменяться даже в том случае, когда она вычисляется для данной
фиксированной точки фазового пространства. Поэтому полную производную D
по t, учитывающую изменение D вследствие обоих факторов, можно записать
согласно формуле (8.58). Таким образом, будем иметь
(8.83)
где первое слагаемое учитывает неявную зависимость D от t, а второе-
явную зависимость.
290 КАНОНИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИИ [гл. 8)
Рассмотрим теперь множество точек, изображающих данный ансамбль при t -
0, и выделим в фазовом пространстве бесконечно малый объём dV,
ограничивающий некоторую систему таких точек. С течением времени эти
точки будут изменять своё положение в фазовом пространстве, и
рассматриваемый объём примет другую форму (рис. 62). Ясно, что число
изображающих точек внутри этого объёма будет всё время постоянным, так
как ни одна из них никогда
не сможет выйти из него наружу. В самом деле, если бы какая-нибудь из них
прошла через границу этого объёма, то она заняла бы то положение, которое
имеет в этот момент какая-то изображающая точка на его поверхности. Но
так как движение каждой изображающей точки однозначно определяется её
положением в фазовом пространстве в заданный момент времени, то это
означало бы, что две указанных точки вышли из этого объёма вместе.
Следовательно, ни одна из изображающих точек внутри этого объёма не
сможет его покинуть, точно так же, как ни одна из внешних изображающих
точек никогда не сможет проникнуть в него.
Ранее было показано, что движение каждой изображающей точки можно
рассматривать как некоторое каноническое преобразование её координат,
непрерывно совершающееся в течение всего времени движения. Следовательно,
изменения во времени рассматриваемого объёма dV также можно получить с
помощью некоторого канонического преобразования. Но мы знаем, что объём
любой области фазового пространства является одним из интегральных
инвариантов Пуанкаре и, следовательно, не меняется при канонических
преобразованиях. Поэтому объём dV не будет изменяться со временем.
Таким образом, и объём dV и число содержащихся в нём точек остаются
постоянными. Следовательно, интересующая нас плотность
также должна быть постоянной, что можно записать в виде равенства
Полученный результат и составляет содержание теоремы Лиувилля. Согласно
(8.83) её можно записать в виде
Рис. 62. Движение объёма в фазовом пространстве.
(8.84)
зАдАЧri
291
Если ансамбль систем находится в состоянии Статистического равновесия, то
число систем, находящихся в данном состоянии, не должно изменяться со
временем, и, следовательно, плотность D в данной точке фазового
пространства должна быть постоянной. Изменение D в данной точке
пространства определяется частной
производной . Поэтому условием статистического равновесия
является равенство
что согласно (8.84) эквивалентно равенству
Следовательно, выбирая плотность D как функцию одного из интегралов
движения, мы можем гарантировать статистическое равновесие, так как
скобка Пуассона [D, Я] будет тогда обращаться в нуль. Поэтому для
консервативных систем плотность D может быть любой функцией энергии, так
как при этом обязательно будет выполняться условие равновесия. Выбор этой
функции определяет характеристики рассматриваемого ансамбля систем. В
случае, например, известного микроканонического ансамбля плотность D
постоянна для всех систем, имеющих заданную энергию, и равна нулю для
других систем.
Высказанные выше соображения иллюстрируют эффективность применения скобок
