Классическая механика - Голдстейн Г.
Скачать (прямая ссылка):
[гл. 9
Простейшим случаем вырождения является такой, когда несколько частот
равны. Пусть, например, мы имеем гармонический осциллятор с тремя
степенями свободы. Если у него будут два одинаковых коэффициента
восстанавливающей силы, то соответствующие частоты также будут
одинаковыми, и эта система будет иметь одну степень вырождения. В случае
колебания в изотропной упругой среде коэффициенты восстанавливающей силы
одинаковы по всем направлениям, и поэтому будут равны все частоты
колебания. Такая система является полностью вырождающейся.
В случае, когда имеется вырождение, частоты колебаний не являются
независимыми, и движение системы можно описать числом частот, меньшим,
чем п. Если, например, имеется от условий вырождения, то их можно
использовать и понизить число частот до п - от; в этом случае мы будем
иметь п - от периодов движения. Изящный способ уменьшения числа частот
даёт точечное преобразование переменных действие-угол. Пусть от условий
вырождения имеют вид
П
2 Jкь'
i = 1
¦ О
(k= 1, ..., от).
(9.53)
Рассмотрим теперь точечное преобразование (w, J)-+(w', J'), определяемое
производящей функцией
т п п
^2=2 2-/йУм^г + 2 JkWк (9.54)
= 1 г = 1 1
[см. уравнение (8.19)]. Новые координаты w' будут тогда равны
: 2 j кг(r) г
г = 1
Wk^Wk
(к = 1,. . ., от),
(к = от -(- 1,..., п),
(9.55)
а новые частоты v
к '
2 Jki'4 - О
г = 1
(k = 1, ..., от),
(k = от -(-1.............п).
(9.56)
к 'к
Следовательно, от частот будут теперь равны нулю, и останется лишь п - от
независимых частот. Новые координаты w'k, очевидно, можно считать
угловыми переменными, так как конфигурация Системы получается в этих
координатах периодической с периодом, равным единице. Переменные У* можно
получить посредством решения п уравнений преобразования
т п
Л=2 ^У/u-f 2 Jkhi- (9.57)
к-л
к = т+1
§ 9.7]
ЗАДАЧА КЕПЛЕРА В ПЕРЕМЕННЫХ ДЕЙСТВИЕ УГОЛ
321
В ряде Фурье нулевым частотам соответствуют постоянные множители. Они
имеются, конечно, и в первоначальном ряде Фурье, т. е. в ряде (9.49), где
они получаются при значениях У;, удовлетворяющих условиям вырождения.
Так как
./ дн " < '
то гамильтониан не должен зависеть от переменных Jit для которых
соответствующие частоты равны нулю. Поэтому в полностью вырождающейся
системе гамильтониан можно сделать зависящим лишь от одной переменной Jt.
Многие факты, связанные с вырождением, хорошо иллюстрируются на примере
движения под действием центральной силы F = - k\r%. Это движение
интересно также и в том отношении, что оно позволяет показать, как
переменные J и w применяются к исследованию некоторых систем. Кроме того,
при этом обнаруживается связь с квантовой механикой Бора. Поэтому
следующий параграф мы посвящаем подробному рассмотрению задачи Кеплера в
переменных J, w.
§ 9.7. Задача Кеплера в переменных действие -угол. Для
общности будем пользоваться пространственными координатами, т. е. не
будем априори считать рассматриваемое движение плоским. В сферических
координатах кинетическая энергия равна
Г = -^-(г2 + г2024-л2 sin2 0(r)2), (9.58)
а канонические импульсы имеют вид:
рг - тг, р$ = тг2Ь, ру - тг2 sin2 0(r). (9.59)
Поэтому гамильтониан этой системы равен
1 / pi pi \ k
H = 2m\Pl+^ + -^b)~T- (9-6°>
Коэффициент k будем считать положительным, так как при k < О орбита
планеты не является ограниченной и, следовательно, движение не может
быть периодическим. Из равенства (9.60) видно, что
характеристическая функция W определяется здесь уравнением
1 \(dW\* , 1 (dW\* , 1 fdWУП k р
2т \ дг ) г2 ( 90 ) + г2 sin2 0 \ <*р ) J г 1 ' ^ ^
где at-постоянная, равная полной энергии. Переменные уравнения (9.61)
можно разделить, полагая
1Г=1Гг(л) + ^б(9) + ^<р(?)- (9.62)
322
МЕТОД ГАМИЛЬТОНА'-ЯКОБИ
[гл. 9
Подставим это выражение в (9.61)- Тогда, учитывая, что ф появится при
этом лишь в члене
1 /д!Т\2
г2 sin2 0 \ dtp / '
мы видим, что равенство (9.61) будет справедливо для всех ср лишь при
условии
dW"
а , (9.63а)
где а?-в виде
dtp f '
постоянная. Поэтому уравнение (9.61) можно записать
Г/^oV , а* II k
2m [\ дг J ' г'* \ d0 / ' sin2 0 j г
Е.
Но так как выражение в квадратных скобках содержит только 0, то
fdWо
V дв
Sin2 6
(9.63Ь)
где сс6-ещё одна постоянная. Таким образом, уравнение (9.61) принимает
вид
dWr
дг
+ т[Е+~).
k \
г 1
(9.63с)
Каждое из равенств (9.63) выражает некоторую теорему о сохранении.
Рассмотрим, например, первое из них. Оно показывает, что величина р9
является постоянной. Следовательно, это равенство выражает закон о
сохранении кинетического момента относительно оси 2. Рассмотрим теперь
равенство (9.63Ь), записав его в виде
р\
skr-T = ae-
Заметим, что в плоских полярных координатах гамильтониан равен
Н :
2т
п- 1
Р, ~Т
Ё.
г2
где р-величина полного кинетического момента. Сравнение этого выражения с
гамильтонианом (9.60) показывает, что аэ следует считать равным р.
Поэтому равенство (9.63Ь) выражает закон о сохранении полного
кинетического момента. Что касается равенства (9.63с), то оно выражает
