Классическая механика - Голдстейн Г.
Скачать (прямая ссылка):
значениями величин q и р в момент t0. Уравнения (8.11а) могут быть
записаны теперь в виде
Pi = dS%°!' 0 ¦ (9-6)
что при t = t0 даёт нам п уравнений, связывающих п величин аг с
начальными значениями q^ и pit позволяя определить постоянные аг по
заданным начальным условиям. Другая половина уравнений (8.11) определит
тогда новые постоянные координаты. Эти уравнения будут иметь вид
= = ¦ (9-7)
что позволяет, -зная (q^t^ts найти постоянные с помощью непосредственного
вычисления правых частей равенств (9.7) при t = t0. Разрешая после этого
уравнения (9.7) относительно q, получаем
q = q{ai, t), (9.8)
что полностью решает задачу, так как таким путём мы получаем координаты
как функции времени и начальных данных *).
*) Может возникнуть вопрос о разрешимости уравнений (9.6) относительно а{
и уравнений (9.7) относительно qt, Вопрос этот сводится к исследованию
систем (9.6) и (9.7) на независимость содержащихся в них уравнений, так
как в противном случае этих уравнений будет недостаточно для
т ^ dS
определения п независимых величин о,- или qt. Тот факт, что производные в
уравнениях (9.7) являются независимыми функциями q, следует иепосред-
§ 9.1]
УРАВНЕНИЕ ГАМИЛЬТОНА ЯКОБИ
299
Таким образом, главная функция Гамильтона осуществляет переход к
постоянным координатам |3 и постоянным импульсам а. Решая уравнение
Гамильтона-Якоба, мы в то же время получаем решение рассматриваемой
механической задачи. Говоря на математическом языке, мы установили
соответствие между 2п каноническими уравнениями движения, которые
являются обыкновенными дифференциальными уравнениями первого порядка, и
уравнением Гамильтона- Якоби, которое является уравнением первого порядка
в частных производных. Такое соответствие имеет место не только для
уравнений Гамильтона; известно, что каждому уравнению первого порядка в
частных производных соответствует определённая система обыкновенных
дифференциальных уравнений первого порядка. В данном случае эта связь
между рассматриваемым уравнением в частных производных и соответствующими
каноническими уравнениями может быть объяснена происхождением этих
уравнений от общего вариационного принципа - модифицированного принципа
Гамильтона.
Выбор величин аг в качестве новых импульсов является в некоторой степени
произвольным, так как вместо них можно было бы выбрать любые п
независимых функций от а{. Тогда вместо постоянных аг мы имели бы
постоянные
Ti=Ti(al> • • •> "п)> (9-9)
и главную функцию Гамильтона можно было бы записать как функцию qit Yi и
t, не изменяя ничего в остальных рассуждениях. Выбор в качестве новых
импульсов той или иной системы ji часто оказывается более удобным, чем
выбор постоянных, появляющихся при интегрировании уравнения Гамильтона-
Якоби.
Физический смысл функции 5 обнаруживается при вычислении её полной
производной по времени, которая равна
dS V1 ~ ' I d-S
dt Zidq(qi4r dt
ственно из того, что постоянные зц, ап являются независимыми, ибо отсюда
вытекает, что якобиан
Л
\dat дап}
d(<7i Qn)
d2S
дЩЩ
отличен от нуля. Но так как порядок дифференцирования 5 но а и по ^ не
существенен, то якобиан
д((tm).........
\dqt dqj
д{ч ап)
d*S
дд{ да{
также должен быть отличен от нуля, что доказывает независимость уравнений
(9.6).
300 МЕТОД ГАМИЛЬТОНА---ЯКОБИ [гл. 9
(так как импульсы Р, не изменяются с изменением (). Но согласно
равенствам (9.6) и (9.3) эту производную можно записать в виде
dS
- (9.10)
dt
г
откуда
S = J Ldt-\- const. (9-11)
Принцип Гамильтона представляет собой известное утверждение
U
относительно определённого интеграла Ldt, позволяющее полу-
чить решение задачи с помощью уравнений Лагранжа. Здесь же мы
имеем аналогичный интеграл j Ldt, но неопределённый. Следует,
однако, заметить, что в практических расчётах интеграл (9.11) не
может оказаться полезным, так как интеграл J Ldt может быть
взят только тогда, когда qi и pi известны как функции времени, т. е.
когда получено решение рассматриваемой задачи *).
§ 9.2. Задача о гармоническом осцилляторе. В качестве примера применения
метода Гамильтона-Якоби мы подробно рассмотрим задачу о гармоническом
осцилляторе с одной степенью свободы. Гамильтониан такой системы равен
И- Р* I ИФ
2т ' 2 '
где k-коэффициент жёсткости. Заменяя здесь р на и приравнивая нулю новый
гамильтониан этой системы, мы получаем следующее уравнение Гамильтона-
Якоби
(9.12)
2т \dq) '2 ^ dt К '
Так как i содержится здесь в явном виде только в последнем
члене,
то можно положить:
S(q, a, t) - W(q, а) -а(, (9.13)
*) Тот факт, что интеграл J L dt совпадает с одной из функций S,
удовлетворяющих уравнению (9.3), был установлен Гамильтоном до того, как
стало ясно, что уравнение Гамильтона-Якоби даёт возможность получить
полное решение данной механической задачи, что было сделано Якоби,
который установил, что канонические преобразования позволяют использовать
любой полный интеграл уравнения Гамильтона-Якоби для решения задачи 0
движении системы.
