Классическая механика - Голдстейн Г.
Скачать (прямая ссылка):
Л(<2, Р) - A(q, р) = оА = - В db,
B(Q, Р) - В (q, р) = ЪВ = Adb
и
С (Q, Р) - C(q, р) = ЬС = 0.
Эти равенства совпадают с теми, которые определяют изменения составляющих
неподвижного вектора при повороте координатных осей на угол -db вокруг
оси z [уравнение (4.94)]. В данном случае будем иметь
dF=kdby^F=bF.
Поэтому изменение F при бесконечно малом повороте вокруг произвольной оси
будет равно
lF=ndHy^F. (8.76)
Отсюда согласно (8.73) получаем
[F, L-n]=n XF- (8-77)
Следует заметить, что хотя равенство (8.77) справедливо лишь для
ограниченного класса векторных функций, однако большинство векторных
величин, встречающихся в задачах механики, принадлежит к этому классу. К
их числу принадлежит, например, любая функция F(r, р), которая
не содержит фиксированного вектора, не связанного с
системой. В обозначениях диадного исчисления равен-
ство (8.77) может быть представлено в виде
[F, L] = 1 X F, (8.78)
где 1 -единичная диада и -\~jj~\- kk. [Равенство (8.77) легко
полу-
чается из равенства (8.78) посредством скалярного умножения обеих частей
его на п.] Хорошо известный частный случай рассматриваемого соотношения
получается при F = L. В этом случае будем иметь
[L, =
или
[L,L] = 1XL. (8.79)
Из равенства (8.79), в частности, следует, что
[Lx, Ly] = (jXL)x = Ls.
Поэтому для скалярных составляющих правой части (8.79) будем иметь
[Ij, Lj]-Lk (t, j, k - в циклическом порядке). (8.80)
Из равенств (8.79) и (8.80) можно получить ряд интересных выво-
дов. Пусть, например, Lx(q, р) и Ly(q, р) будут первыми интегралами
288
КАНОНИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
[гл. 8
уравнений движения. Тогда скобки \LX< Н] и [Ly, Н] будут равны нулю, и
согласно теореме Пуассона [Lx, Ly]-Lz будет величиной постоянной.
Следовательно, если две составляющие кинетического момента остаются во
время движения неизменными (при любых начальных условиях), то полный
вектор кинетического момента также будет неизменным.
Более важное значение имеет соотношение
[/Л L • я] = 0, | (8.81)
которое легко доказать, если учесть, что левая часть его может быть
записана в виде
[L L, L ¦ я] = 2L ¦ \L, L ¦ п\.
Согласно (8.79) выражение (8.81) примет вид 2L • (я X L) = 0.
Применяя то же доказательство к любому вектору, удовлетворяющему
равенству (8.77), мы получим для него аналогичное соотношение
[F*,L-n] = 0. (8.82)
Вспомним теперь, что если и pj - два любых канонических импульса, то
согласно (8.4lb) скобка [р1г pj] должна быть тождественно равна нулю. Но
согласно (8.80) скобки Пуассона [Lt, Lj] при j ф i будут отличны от нуля.
Следовательно, если одна из составляющих кинетического момента вдоль
неподвижных осей выбрана в качестве канонического импульса, то другая
составляющая не может одновременно с ней быть каноническим импульсом. В
противоположность этому из (8.81) видно, что величина вектора L и любая
её компонента могут одновременно быть каноническими импульсами *).
*) Мы уже отмечали, что в квантовой механике аналогом скобки Пуассона
является квантовомеханический коммутатор. Поэтому многие положения
квантовой механики можно формально получить из соответствующих положений
классической механики, если символ [ ] читать как "коммутатор" (не
считая постоянного множителя). Это относится и к результатам данного
параграфа, которые имеют близкие квантовые аналогии. Например,
утверждению, что две составляющие L не могут одновременно быть
каноническими импульсами, соответствует известное положение о том, что L{
и Lj не могут одновременно быть собственными значениями. Однако L2 и Li
могут быть квантованы одновременно. Большей частью эти соотношения
гораздо лучше известны в их квантовой форме, чем в форме классических
теорем. Так, например, одна из самых ранних ссылок на скобки Пуассона в
связи с кинетическим моментом появилась лишь в 1930 г. (в монографии
Борна и Иордана "Элементарная квантовая механика"). Точно так же
равенство (8.78), определяющее изменение вектор-функции при вращении, уже
давно применялось в квантовой механике (см. Condon and S h о г 11 е у,
The Theory of Atomic Spectra, стр. 59), но лишь в последнее время было
получено в классической механике (насколько известно автору, это было
сделано недавно профессором Швингером).
§ 8.81
Теорема лиувилля
289
§ 8.8. Теорема Лиувилля. В качестве последнего примера применения скобок
Пуассона остановимся коротко на так называемой теореме Лиувилля,
являющейся основной теоремой статистической механики.
Хотя законы классической механики позволяют полностью определить движение
системы по известным начальным условиям, однако для сложных систем это
часто оказывается практически невозможным. Было бы, например, совершенно
безнадёжным пытаться вычислить движение каждой молекулы одного моля газа,
так как число этих молекул превышает 1028. Кроме того, начальные условия
такой системы нам никогда не бывают вполне известны. Мы можем, например,
установить, что при t = t0 энергия этой массы газа имеет определённое