Классическая механика - Голдстейн Г.
Скачать (прямая ссылка):
Пуассона в статистической механике. Дальнейшее изучение этого вопроса,
однако, увело бы нас слишком далеко от основной темы, и поэтому мы
ограничимся тем, что было здесь изложено.
является каноническим.
2. При выводе уравнений преобразования, осуществляемого производящими
функциями F2, t's или Fit мы пользовались преобразованием Лежандра лишь
для установления связи между производящими функциями. Показать, что
описанное в главе 7 преобразование Лежандра позволяет получить уравнения
(8.11), (8.14) и (8.17) непосредственно из уравнений (8.9).
3. Уравнения преобразования имеют вид: '
а) Исходя непосредственно из этих уравнений, покажите, что если q и р
являются каноническими переменными, то переменные Q и Р также будут
каноническими.
[D, Н\ - 0.
Задачи
1. Покажите непосредственно, что преобразование
29 2 КАНОНИЧЕСКИЕ преобразовании [гл. 8J
Ь) Покажите, что производящей функцией этого преобразования является
функция
Ps - -(eQ - I)2 tgp.
4. При каких значениях аир уравнения
Q - q* cos рр, Р = q" sin 8р
являются уравнениями канонического преобразования? Какова в этом случае
производящая функция Л3?
5. Точка массы т движется в поле, потенциал которого зависит только от г
и от г = Yx2 + У2- Найдите производящую функцию, осуществляющую переход к
системе координат, равномерно вращающейся вокруг оси z со скоростью ш.
Каков физический смысл нового гамильтониана? Сравните полученный
результат с результатом задачи 4 главы 7. Выведите новые канонические
уравнения движения и объясните физический смысл каждого члена этих
уравнений.
6. Показать, что если t рассматривать как каноническую переменную, то в
случае, когда преобразование не влияет на масштаб времени, уравнения
преобразования сводятся к обычным уравнениям (8.11).
7. Показать, что если канонические переменные не являются независимыми, а
связаны дополнительными условиями
'h (?i. Pi' 0 = °-
то канонические уравнения движения могут быть записаны в виде дН J. V >
д'<к Л- п №xV) д^к
-jfi+ Lкк +LKk ж-р-
где X* - неопределённые множители Лагранжа.
Как раз такой случай имеет место, когда t рассматривается как
каноническая переменная в соответствующих уравнениях Гамильтона, так как
между Pn+i и другими каноническими переменными в этом случае существует
соотношение
Н(qlt qH + 1, Pl рп) +/>n+1 = 0.
Модифицированный таким путём принцип Гамильтона показывает, что
"гамильтониан" рассматриваемых 2л-ф-2 переменных всегда равен нулю (см.
задачу 6 гл. 7). Показать, что получающиеся 2п -|- 2 уравнений Гамильтона
можно свести при этом к 2 п обычным уравнениям Г амильтона плюс уравнение
(7.19) и уравнение
dt
Л~Ж'
(Заметим, что хотя здесь имеется сходство с ковариантной релятивистской
теорией уравнений Г амильтона, эти результаты получены нами, не выходя за
пределы нерелятивистской механики.)
8. Показать с помощью непосредственной подстановки в уравнение (8.8), что
функция 2 q^Qi осуществляет преобразование, меняющее местами
г
координаты и импульсы. Показать, что функция = 2 также осущест-
i
вляет подобное преобразование, а преобразование, осуществляемое функцией
Ръ = - ^ QiPv является тождественным.
ЗАДАЧИ
293
9. Показать, что элементы функционального детерминанта
" _ д (Qk, Рк) д (?<. Pi)
можно преобразовать так, что элементами детерминанта D2 будут
фундаментальные скобки Лагранжа. Доказать таким путём, что D2 = 1. (Из
интегрального инварианта J можно видеть, что D всегда равно +1.)
10. Пользуясь равенствами (8.9), (8.11), (8.14), (8.17), докажите, что
имеют место следующие соотношения:
дд{ _ дРк д<и _ dQu др{ _ дРк др_ dQ*
dQk dpi ' дРк dpi ' dQk dqt ' dPh dq,•
Покажите, что
[Яг, Pj] = {Яу Pi}-
(Это можно использовать для независимого доказательства инвариантности
фундаментальных скобок Пуассона.) Показать также, что детерминант
обратного преобразования (Q, P)~+(q,p) равен D, т. е что D~l - D.
(Этот
результат представляет новое доказательство равенства Z)2 = 1.)
11. Говорят, что класс некоторых операций является группой, если
выполняются следующие условия: 1) он содержит тождественный оператор; 2)
наряду с каждым оператором в него входит и оператор, обратный данному, и
3) произведение двух любых операторов из этого класса также входит в этот
класс. Показать, что канонические преобразования системы с п степенями
свободы образуют группу.
12. В этой главе было показано, что инвариантность фундаментальных скобок
Пуассона представляет необходимое условие того, что преобразование
является каноническим. Можно, однако, показать, что это условие является
и достаточным.
Рассмотрите простейший случай, когда уравнения преобразования не содержат
явно t, и покажите, что если выполнено это условие и если переменные q и
р являются каноническими, то переменные Q и Р также будут удовлетворять
некоторым уравнениям канонического типа. Кроме того, покажите, что при
этом
[Qi, Qj]q, [Р{, Pj]q, р' tQ;> Pj]q, p ~ ,Jij-
(Наиболее простой способ доказательства состоит в том, чтобы выразить dP
