Классическая механика - Голдстейн Г.
Скачать (прямая ссылка):
§ 9.21
ЗАДАЧА О ГАРМОНИЧЕСКОМ ОСЦИЛЛЯТОРЕ
301
где а - постоянная (которая позже будет принята за преобразованный
импульс системы). При таком выборе решения мы исключаем из (9.12) t и
получаем
Полученный интеграл является довольно простым, однако вычислять его
нецелесообразно, так как нам в дальнейшем потребуется не функция S, а
лишь её частные производные. Для определения q мы согласно (9.7) будем
иметь
где а и --постоянные интегрирования. Полученное равенство совпадает с
обычной формулой для гармонического колебания.
Для окончательного решения остаётся связать а и р с начальными условиями.
Предположим, что при ^ = 0 скорость рассматриваемой материальной точки
равна нулю. Тогда в начальный момент времени будем иметь: q - q0, p - pu~
0. Положив теперь в (9.15) t = 0, получим
(9.14)
Интегрируя (9.14), будем иметь
и следовательно,
(9.15)
что можно легко проинтегрировать:
arccos
(9.16)
и, разрешив (9.16) относительно q, найдём
(9.17)
откуда
(9.18)
Следовательно, а является начальной полной энергией системы, а так как
рассматриваемая система является консервативной, то энергия
302 Метод гамильтона-якови [гл. 0
её должна всё время быть равна а. В сущности, это можно было бы
установить и непосредственно, исходя из формулы (9.13) и равенства
которое с учётом (9.13) даёт
Н = а.
Подставив теперь (9.18) в (9.17), окончательно получим
9 = ^0COSU)(/f-f-^),
откуда видно, что при заданных начальных условиях [3 должно быть равно
нулю. Следовательно, рассматриваемая функция 5 осуществляет переход к
новому каноническому импульсу, совпадающему с полной энергией, и к
координате, тождественно равной нулю (в силу принятых начальных условий).
С помощью равенства (9.18) главную функцию Гамильтона можно записать в
виде
S = тш | Уq\ - q2dq- - ,
что с учётом (9.17) даёт*)
S - тш2<72 | ^sin2 tat - dt.
Вычисляя теперь функцию L(t), будем иметь
mq2 m<o2q2 muPql f 1 \
L = -- -------g- = -g- ^п2 ~~ cos2 = Я1 (s'11 - YJ.
откуда видно, что S(t) совпадает с неопределённым интегралом J Ldt,
как и должно быть на основании общего соотношения (9.11). (Убедиться в
этом тождестве можно лишь после того, как будет получено окончательное
решение задачи.)
§ 9.3. Характеристическая функция Гамильтона. В случае простого
гармонического колебания мы смогли найти полный интеграл уравнения
Гамильтона-Якоби. В основном это удалось сделать
*) Квадратный корень из q\ - q2 нужно брать здесь со знаком минус, так
как
и mu> со
что согласно (9.17) равно -q0 sin tot.
§ 9.3]
ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ ГАМИЛЬТОНА
потому, что 5 можно было разбить на две части, одна из которых содержала
только q, а другая - только t. Мы сейчас увидим, что если старый
гамильтониан не содержит явно t, то такое разделение всегда возможно.
Если Н не является явной функцией t, то уравнение Гамильтона-Якоби
принимает вид
Первый член этого равенства содержит производную S по t, а второй-
производную 5 по q. Поэтому полный интеграл этого уравнения можно искать
в виде
5 (<7*, a*, t) = W (q^ сц) - аxt. (9.19)
Подставляя это выражение в предыдущее уравнение, получаем
и ("..??) = ",. (9-20)
что представляет собой дифференциальное уравнение, уже не содержащее
времени. Таким образом, одна из констант, входящих в S, именно otj, равна
постоянному значению гамильтониана Н. (Н обычно является энергией, однако
следует помнить, что это не всегда так; см. задачу 4 гл. 7.)
Функция W, не зависящая от времени, введена нами просто как часть
производящей функции S в случае, когда Н не содержит явно t. Мы сейчас
увидим, что её можно рассматривать как производящую функцию некоторого
канонического преобразования, свойства которого отличны от свойств
преобразования, осуществляемого функцией 6'. Рассмотрим каноническое
преобразование, при котором новые импульсы являются константами
движения аг, причём ах
равно Н. Если производящую функцию этого преобразования обо-
значить через W(q, Р), то уравнения преобразования будут иметь вид;
Хотя эти уравнения имеют сходство с уравнениями (9.6) и (9.7), однако для
функции S мы имеем теперь условие, которое состоит в том, что Н должно
равняться новому импульсу at:
#(?"• Рг) = "г
Согласно (9.21) это условие приводит к следующему уравнению в частных
производных относительно W:
д\ХГ
304
МЕТОД ГАМИЛЬТОНА -ЯКОКИ
[гл. 9
Как можно видеть, оно не отличается от уравнения (9.20). Так как W не
содержит времени, то новый и старый гамильтонианы равны и, следовательно,
К - аг
Функция W известна как характеристическая функция Гамильтона. Мы видим,
что она осуществляет каноническое преобразование, в котором все новые
координаты являются циклическими. В предыдущей главе мы говорили, что в
случае постоянного Н такое преобразование, в сущности, целиком решает
задачу, так как интегрирование новых уравнений движения становится при
этом тривиальным. Канонические уравнения для Pi фактически снова
подтверждают, что импульсы, соответствующие циклическим координатам,
