Классическая механика - Голдстейн Г.
Скачать (прямая ссылка):
координатами а;.
Выясним теперь физический смысл величин . Допустим, что координата qj
совершает полный цикл изменения (либрации или вращения), в то время как
остальные координаты остаются при этом неизменными. Рассмотрим приращение
Awv которое получает при этом величина Wy Оно равно
где оwi - бесконечно малое изменение wit получающееся вследствие
бесконечно малого изменения Цу Учитывая, что
Вынося теперь производную по за знак интеграла, будем иметь
Равенство (9.41) показывает, что при j = i угловая переменная wi равна
единице, а при j ф i она равна нулю. Поэтому если т{ будет означать
период одного цикла изменения qit то согласно (9.39) будем иметь
Следовательно, постоянная равна частоте изменения qу
Таким образом, переменные действие -угол (Jit wt) весьма удобны для
получения частот периодических движений; при этом не требуется полного
исследования движения системы. Если априори известно, что система
является периодической, то для нахождения её частот достаточно найти
согласно (9.34) переменные действия и выразить Н через J{, после чего
останется вычислить производ-д Н
ные -г- и получить таким путём частоты v* [см. равенство (9.38)].
(9.40)
и подставляя (9.40) в (9.37), получаем
(с учётом уравнений преобразования). Но так как
то окончательно получаем
(9.41)
откуда
(9.42)
316
МЕТОД ГАМИЛЬТОНА ЯКОБИ
[гл. 9
Теперь ясно, почему величины называют угловыми переменными: это связано с
тем, что величина v* в равенстве (9.39) означает частоту. Кроме того,
этот термин находится в согласии с тем фактом, что Ji имеет размерность
кинетического момента, так как кинетический момент есть обобщённый
импульс, соответствующий угловой координате.
В качестве иллюстрации рассмотрим задачу об определении частоты обычного
гармонического осциллятора. В данном случае мы имеем только одну
переменную действия J, которая согласно (9.15) равна
где пределы 0 и 2тс соответствуют полному циклу изменения д. Производя
вычисления, получаем:
Разрешая теперь равенство (9.44) относительно а, будем иметь:
dJ v- 2к Г*
что совпадает с известной формулой для собственной частоты гармонического
осциллятора.
§ 9.6. Другие свойства переменных действие - угол. В предыдущем параграфе
было установлено, что когда изменяется на единицу, координата qi
совершает полный цикл изменения. В случае периодического движения типа
либрации это означает, что qt возвращается к своему первоначальному
значению. Следовательно, в случае либрации переменная ^ должна быть
периодической функцией переменной и период этой функции должен быть равен
= 1. Поэтому либра-ционную координату qh можно представить в виде ряда
Полагая
будем иметь:
(9.43)
О
г
(9.44)
откуда
дН
Чк - 2 a}e2KljWk (либрация),
- 00
(9.45а)
§ 9.6] ДРУГИЕ СВОЙСТВА ПЕРЕМЕННЫХ ДЕЙСТВИЕ---УГОЛ
317
являющегося рядом Фурье. Согласно (9.39) его можно записать в виде
где /- целое число, пробегающее значения от -оо до -ф- оо. Коэффициенты
этого ряда определяются известными равенствами
Если же движение носит вращательный характер, то изменению wk на единицу
соответствует увеличение переменной qk на величину её периода qok.
Поэтому такая координата не является периодической функцией wk, но легко
видеть, что разность qk - wkqok будет в этом случае периодической
функцией wk с периодом, равным единице. Поэтому её можно разложить в ряд
Фурье
Соответствующая зависимость от времени будет выражаться рядом
Ян- + . 2 а/*1* ^+?к) (вращение). (9.46b)
Следовательно, и при либрации, и при вращении зависимость qk от t можно
представить с помощью суммы гармоник, частоты которых кратны v Однако
если мы будем рассматривать функцию нескольких qk, то в её ряд Фурье
будут входить члены, соответствующие нескольким частотам vfe. Например,
декартовы координаты часто являются неразделяющимися. Однако они могут
быть выражены через разделяющиеся координаты qk, и тогда ряд Фурье для Xi
будет содержать все возможные линейные комбинации основных частот чк.
Таким образом, мы приходим к разложению вида
где J- целые числа, пробегающие значения от -со до -j-co. Переходя к
зависимости от t, мы можем записать это уравнение в следующем
окончательном виде:
СО
qk= 2 a/M'(v*<+p*> (либрация), (9.46а)
j - - СО
1
aj=/<7^ 2r'VWkdwk.
(9.47)
О
со
Як - Щ9оь= 2 (вращение). (9.45Ь)
з- -со
со
j - - СО
со
со
со
со
со
Пусть теперь не все ^ являются соизмеримыми. Тогда функция (9.49) не
будет периодической функцией времени в обычном смысле этого
318
МЕТОД ГАМИЛЬТОНА--ЯКОБИ
[гл. 9
слова [как, например, функция (9.46а)]. Это связано с тем, что хотя
множитель
2 nij.v.t
е Ji 1
и является периодической функцией t, однако период его l/vt несоизмерим с
периодами других аналогичных множителей. Поэтому в целом эта функция не
является периодической. В таких случаях говорят, что рассматриваемая
функция является много-периодической или почти-пераодической. (Такого
рода функция уже встречалась нам при рассмотрении гармонического
