Классическая механика - Голдстейн Г.
Скачать (прямая ссылка):
исчислении, содержащейся в т. 1 книги: Frank und von М i s е s, Die
Differential- und Integralgleichungen der Mechanik und Physik.
P. A. M. Dirac, The Principles of Quantum Mechanics.
Именно на эту книгу обычно ссылаются, когда говорят о приложении скобок
Пуассона к квантовой механике. К сожалению, она.приобрела репутацию
книги, трудной для понимания, хотя этого нельзя сказать о её последних
изданиях. Поэтому читатели, немного знакомые с физическими основами
квантовой механики, вполне могут ею пользоваться. Вопросы, имеющие
отношение к материалу этой главы, изложены в §§ 25-30 этой книги.
ГЛАВА 9
МЕТОД ГАМИЛЬТОНА-ЯКОБИ
Говоря о применении канонических преобразований к решению задач механики,
мы указывали на два метода. Один из них относится к тому случаю, когда
гамильтониан системы остаётся постоянным. В этом случае существует такое
преобразование, при котором новые канонические координаты являются
циклическими, и тогда интегрирование новых уравнений движения становится
тривиальным. Другой метод состоит в отыскании такого канонического
преобразования, которое осуществляет переход от координат q(t) и
импульсов p(t) к начальным координатам q(t0) и начальным импульсам p(t0).
Уравнения преобразования, связывающие старые и новые канонические
переменные, будут при этом иметь вид:
? = <7(?о> Ро> *)< Р =Р(<7о Ро> О-
т. е. будут давать полное решение задачи, так как координаты и импульсы
даются ими как функции их начальных значений и времени. Этот метод
является более общим, так как он применим (по крайней мере принципиально)
и тогда, когда гамильтониан содержит время t. Поэтому мы начнём с
рассмотрения вопроса о том, как получить такое преобразование.
§ 9.1. Уравнение Гамильтона-Якоби. Для того чтобы иметь уверенность в
том, что новые переменные являются величинами постоянными, достаточно
потребовать, чтобы преобразованный гамильтониан К был тождественно равен
нулю, так как тогда новые уравнения движения будут иметь вид:
дК
dPi - Qi-0' дК = 0.
dQi -1
Но так как К и Н связаны соотношением
(9.1)
§9.1] УРАВНЕНИЕ ГАМИЛЬТОНА - ЯКОБИ 297
то для выполнения равенства К - 0 производящая функция F должна
удовлетворять уравнению
+ | = (9.2)
где H(q, р, t) - старый гамильтониан. Функцию F удобно считать зависящей
от старых координат qt, от новых (постоянных) импульсов Pf и от времени
t. Пользуясь обозначениями предыдущей главы, мы будем записывать её в
виде F2(q, Р, t). Чтобы выразить фигурирующий в (9.2) гамильтониан через
те же переменные, можно воспользоваться уравнениями (8.11а), согласно
которым
Поэтому уравнение (9.2) можно записать в виде
................Й'')+Т=°- <93>
Полученное уравнение носит название уравнения Гамильтона-Якоби. Оно
является дифференциальным уравнением в частных производных и определяет
зависимость искомой производящей функции о^г qv . . ., qn, t. Решение
уравнения (9.3) обычно обозначают через 5 и называют главной функцией
Гамильтона.
Конечно, решая уравнение (9.3), мы находим зависимость 5 только от старых
координат и времени и ничего не можем сказать о характере зависимости S
от новых импульсов, о которых знаем пока только то, что они должны быть
постоянными. Мы увидим, однако, что характер получающегося решения
показывает, как получить новые импульсы
Уравнение (9.3) является дифференциальным уравнением первого порядка в
частных производных. Так как оно содержит re-f-1 независимых переменных,
то полный интеграл его должен содержать п-\- 1 независимых постоянных av
..., ап, ап+1 *). Следует, однако, заметить, что сама функция 5 в это
уравнение не входит, а входят лишь её производные по q или по t. Поэтому,
если 5 есть некоторое решение уравнения (9.3), то решением этого
уравнения будет
*) Полным интегралом уравнения
,, I дг дг \
Ч*1.........*"¦
называют функцию
г = г(хь . хп, "!,..., ап),
удовлетворяющую этому уравнению и содержащую столько независимых
постоянных at, сколько в этом уравнении независимых переменных Xi (см.,
например, Н. Н. Бухгольц, Основной курс теоретической механики,
ч. 11, ОНТИ НКТП, 1937). {Прим. перев.)
298
МЕТОД ГАМИЛЬТОНА ЯКОБИ
и 5 +а, где а - любая постоянная (так как аддитивная постоянная не
изменяет значений частных производных). Следовательно, одна из п-\- 1
постоянных щ должна быть аддитивной постоянной, добавляемой к S. Но легко
видеть, что эта постоянная не имеет для нас значения, так как в уравнения
преобразования входит не S, а только её частные производные.
Следовательно, полный интеграл уравнения (9.3) можно записать в виде
5 = 5 (<7i" . . ., Gtj, . . ., ctfl, f), (9.4)
где ни одна из п постоянных не является аддитивной. Мы видим, что форма
выражения (9.4) вполне соответствует форме искомой производящей функции,
так как в правой части (9.4) стоит функция п координат qb п независимых
постоянных аг и времени t. Поэтому п постоянных аг можно принять за новые
(постоянные) импульсы, положив
Pi = а,. (9.5)
Такой выбор не противоречит тому положению, что новые импульсы связаны со
