Классическая механика - Голдстейн Г.
Скачать (прямая ссылка):
закон о сохранении энергии.
Уравнения (9.63) можно проинтегрировать и получить производящую функцию.
Однако мы не будем эюго делать, так как нас интересуют главным образом
переменные действие - угол (J, w).
§ 9.7] ЗАДАЧА КЕПЛЕРА В ПЕРЕМЕННЫХ ДЕЙСТВИЕ - УГОЛ
323
В данном случае имеется три переменных У, определяемых равенствами:
Уф = ( CdW" ) *, d*- (9.64а)
А, У0 = ( f Т л- (9.64Ь)
pr dr - С П/ - (9.64с)
С помощью соотношений (9.63) их можно записать в виде:
У?= (j) я?Уф, (9.65а)
У6 = ф |/ ag-.-i-rfO, (9.65b)
Л\ -ш f a?
У, = 5Р|/ 2m?+ - -~dr. (9.65c)
Первый из этих интегралов является тривиальным; так как за один оборот ф
изменяется на 2тг, то
У? = 2тах? = 2крг (9.66)
Этот результат можно было предвидеть заранее, так как ср является
циклической координатой гамильтониана Н. Поэтому равенство (9.66)
является частным случаем равенства (9.34'), справедливого для любой
циклической координаты.
Интеграл (9.65Ь) также можно вычислить без особого труда, что проще всего
сделать с помощью процедуры, которую предложил ван Флек (J. Н. Van
Vleck). Вспомним, что если равенства, связывающие декартовы координаты с
обобщёнными, не содержат времени, то
27'= 2 Piki
i
(см. § 2.6). Выражая кинетическую энергию в сферических и в плоских
полярных координатах, будем иметь
PS 4- pfl + /ур = Рг'г + /4 -
где ф-полярный угол точки в плоскости её траектории. Поэтому р9У0 в
интеграле (9.64Ь) можно заменить разностью р dii- Ар У?-В результате
получим
Ув = (j) рУф- (j> АрУ(r).
Когда 0 совершает полный цикл либрации, ф и ф изменяются на 2тг и,
следовательно,
У6 = 2те(р-Ар) = 2т:(а9-а?)- (9.67)
324
МЕТОД ГАМИЛЬТОНА ЯКОШ1
[гл. 9
Интеграл Jr можно записать теперь в виде
После выполнения интегрирования это равенство можно разрешить
относительно энергии ? = //, что даст нам Н как функцию переменных J9,
Ув, Jr. Следует заметить, что переменные и Ув войдут при этом в Е в виде
суммы У9-)-^> что указывает на равенство частот и ve, т. е. на
вырождение. Заметим, что, делая это утверждение, мы не пользуемся тем
фактом, что сила изменяется обратно пропорционально квадрату расстояния.
Следовательно, движение
Рис. 65. Комплексная плоскость г и кривые интегрирования для вычисления
интеграла Jr.
под действием центральной силы всегда имеет, по крайней мере, одну
степень вырождения.
Интеграл (9.68) может быть вычислен элементарными методами, однако
особенно быстро и изящно это можно сделать с помощью теории вычетов, что
было впервые проделано Зоммерфельдом. Рассмотрим в общих чертах этот
способ. Прежде всего заметим, что Е следует считать отрицательным, так
как только тогда движение рассматриваемой точки будет ограниченным (см. §
3.3). Далее, так как интегрируемая функция равна здесь рг=тг, то пределы
изменения г определяются корнями выражения, стоящего под знаком радикала.
Пусть гх-меньший из этих корней, а г2- больший (см. рис. 24). Тогда
полный цикл изменения г будет состоять из двух частей: сначала г будет
увеличиваться от значения гх до значения r2, а затем будет вновь
уменьшаться до первоначального значения rv В первой фазе этого изменения
рг будет положительным, и радикал (9.68) нужно будет брать со знаком
плюс, а во второй фазе, когда рг отрицательно, его нужно будет брать со
знаком минус. Следовательно, нам нужно будет произвести интегрирование
двузначной функции, двигаясь на участке от гх до г2 по одной ветви, а на
участке от г2 до гх - по другой. Так как точками разветвления этой
функции являются точки гх и г2, то комплексную плоскость этой функции
можно рассматривать как один из листов римановой поверхности, разрезанной
вдоль вещественной оси на участке от гх до г2, как показано на рис. 65.
Так как путь интегрирования охватывает здесь линию между точками
разветвления, то непосредственное применение теории вы-
Отрицательно квадратный \ корень
Положительный
квадратный
к корень
§ 9.7]
ЗАДАЧА КЕПЛЕРА В ПЕРЕМЕННЫХ ДЕЙСТВИЕ УГОЛ
325
четов оказывается невозможным. Однако его можно рассматривать как путь,
окружающий точку сю, и в соответствии с этим нужно будет изменить
направление интегрирования на противоположное (т. е. по ходу часовой
стрелки) *). Интегрируемая функция будет тогда однозначной функцией,
заданной в области вне контура, охватывающего точки i\ и г2, и мы сможем
применить теорию вычетов. В этой области будут лишь две особые точки:
начало координат и бесконечность, и поэтому путь интегрирования нужно
будет заменить на две окружности, по которым эти точки обходятся в
направлении движения часовой стрелки. При вещественных г, меньших, чем rv
знак корня (9.68) должен быть отрицательным, в чём можно убедиться,
исследуя поведение рассматриваемой функции вблизи г1. Поэтому, записывая
интегрируемую функцию в виде
получим
яо = _/1Гс,
где R0-вычет этой функции относительно начала координат.
При вещественном г, большем, чем г2, знак рассматриваемого корня должен
быть положительным, и поэтому вычет интегрируемой функции относительно
