Классическая механика - Голдстейн Г.
Скачать (прямая ссылка):
точки со можно получить с помощью обычного приёма замены переменной.
Полагая z = r~1, будем иметь
- § ^ Va + 2Bz- Cz1 dz и, разлагая этот радикал в ряд около точки 2 = 0,
получаем
Интересующий нас интеграл равен сумме вычетов, умноженной на - 2тгг,
следовательно,
Jr = 2та(у С + у=) •
Подставляя сюда значения коэффициентов А, В, С, получаем
Jr = - V9 + J9) + *b]/r ^ё' (9-69)
*) Для того чтобы представить себе это яснее, можно воспользоваться
стереографической проекцией и перейти от комплексной плоскости к сфере
Римана. Тогда началу координат плоскости г будет соответствовать южный
полюс этой сферы, а точке со - её северный полюс. (Вещественной оси будет
соответствовать один из меридианов.) Любая замкнутая кривая С делит
поверхность этой сферы на две части, и поэтому кривую С можно
рассматривать как охватывающую любую из этих частей в зависимости от
направления движения вдоль С,
326
МЕТОД ГАМИЛЬТОНА ЯКОБИ
[гл. 9
Равенство (9.69) позволяет найти Н как функцию переменных У, так как,
разрешая его относительно Е, будем иметь
Ранее мы говорили, что переменные У8 и У0 должны входить сюда в виде
комбинации У8-|- У . Теперь мы видим, что все три переменные У входят
сюда в виде комбинации Уг-|-У9-|-У(р. Следовательно, все частоты этого
движения одинаковы и оно является полностью вырождающимся.
Полученный результат следовало ожидать заранее, так как мы знаем, что в
случае силы, обратно пропорциональной квадрату расстояния, траектория
движущейся точки является замкнутой (при Е < 0). Поэтому изучаемое
движение должно быть строго периодическим и, следовательно, полностью
вырождающимся. Если бы центральная сила содержала член г~в (вносимый
релятивистскими поправками), то траектория была бы незамкнутой, а
движение было бы непериодическим (оно совершалось бы по прецессирующему
эллипсу). Одно из вырождений было бы в этом случае уничтожено, но
движение всё еще было бы вырождающимся, так как равенство 4) = v
справедливо для всех центральных сил.
Частота рассматриваемого движения определяется равенством
dJr dJfj d.J.? (Jr -)- Уд -)- У<р)3
Подставляя сюда сумму У,.-f-У"--j-У из равенства (9.70) и вычисляя затем
период т, получаем:
что совпадает с третьим законом Кеплера, выражаемым равенством (3.54)
(если учесть, что а = - kl2E).
Вырождающиеся частоты можно исключить с помощью канонического
преобразования, коротко описанного в предыдущем параграфе. Записывая
условия вырождения в виде
дН дН дН
Ат&тк2
(9.71)
'V - v9 = 0> ''9 - \ = 0>
мы получаем образующую функцию
(9.73)
(9.72)
W2 = Wfj - wr,
/
-ШЗ = wr.
§ 9.7] ЗАДАЧА КЕПЛЕРА В ПЕРЕМЕННЫХ ДЕЙСТВИЕ---УГОЛ
327
Как и следовало ожидать, новые частоты v' и s' получаются равными нулю.
Переменные / можно получить, решая уравнения
J^ ,
А = Л-Л,
Jr - Js - /2-
Отсюда
JI J^,
/2 = J"+Jb, (9.74)
J3 = У? -j- /5 -)- У,.. J Выражая теперь гамильтониан // через новые
переменные, получаем
Я= -, (9.75)
А
причём сюда входит лишь та из переменных 7j, для которой
г
частота отлична от нуля.
Вычисление угловых переменных wt можно произвести с помощью уравнений
= (9-76)
Интегрируя для этого уравнения (9.63), мы можем получить W как функцию
констант р, р? и Е и, следовательно, как функцию переменных У. Подставив
эту функцию в равенство (9.76), мы можем получить затем соотношение между
w и константами движения, чем и определится физический смысл величин w.
Практически, однако, этот путь оказывается весьма длинным. К счастью,
здесь можно высказать некоторые качественные соображения, достаточные для
выяснения смысла постоянных угловых координат w' и w'. Мы
знаем, что действие j[ равно произведению 2тс на составляющую
кинетического момента вдоль полярной оси z, и, следовательно,
соответствующая ему угловая переменная должна быть некоторым
фиксированным углом в экваториальной плоскости. Одним из таких углов
является угол, определяющий положение линии узлов (линия пересечения
плоскости орбиты с экваториальной плоскостью), и
г
поэтому Wi может отличаться от него только на некоторую постоянную.
(Значение этой постоянной может быть найдено с помощью непосредственного
интегрирования.)
Аналогично, У2 = У)-f-Уф = 2тгр и, следовательно, эта величина
пропорциональна полному кинетическому моменту. Поэтому будет некоторым
фиксированным углом в плоскости орбиты, таким, как, например, угол между
перигелием и линией узлов. Следует заметить
328
МЕТОД ГАМИЛЬТОНА ЯКОБИ
[гл. 9
также, что отношение J1/J2 должно равняться косинусу угла между осью z и
вектором кинетического момента. Таким образом, величины w[, (r)2 и fjJz, в
сущности, являются углами Эйлера, определяющими ориентацию орбиты в
пространстве.
Введение переменных действие - угол не приводит, конечно, к наиболее
быстрому решению задачи Кеплера, и с этой точки зрения практическая
польза этого метода представляется спорной. Однако система переменных w',
J' может -служить для того, чтобы определить положение орбиты в
пространстве. Кроме того, с помощью переменных можно указать также размер
