Задачи по физике твердого тела - Голдсмид Г. Дж.
Скачать (прямая ссылка):
Пусть значение kx лежит в области k1<.kx<.k2, где наименьшее и наибольшее
значения квантового числа пх соответственно равны kiLj2л и k2Lx/2n. Число
состояний для интервала значений kx равно
Но если потребовать, чтобы у0 лежало внутри объема образца, то интервал
разрешенных значений у0 будет Ly и, следовательно, область разрешенных
значений kx будет
k k - I
Подставляя значение - в соотношение для N, получаем следующее выражение
для кратности вырождения уровней гармонического осциллятора:
N = ^-LxLy.
214
8.8. Для L = 0 имеем: S - 1/2, J = г/2 и Mj = ± 1/2- Поскольку
населенность уровня пропорциональна ехр (-Ш/kT), где Ш = = - ц//= -
Mjg\LBH, то для чисел атомов N4t и W_i/a (в единице объема) на
соответствующих уровнях' с Mj = г/г и Mj = -1/2 имеем
N'/, = C exp (giiBH/2kT), N-4, = С exp (-g\iBH/2kT).
Величина С определяется из условия
С [exp (g\iBH/2kT) + exp (- gp.BH/2kT)] = N.
Отсюда
N exp (g\iBHI2kT) iV exp (-g\iBH/2kT)
/г_ 2 ch (g}iBH/2kT) ¦ /г - 2ch (g\iBH/2kT) '
Намагниченность в данном случае равна произведению разности населенностей
двух уровней на атомный магнитный момент: &*в Г N exp (g\iBH/2kT) N exp
(- g\iBH/2kT) т
2 [ 2 ch (gliBH/2kT) 2ch(gvBH/2kT)
= -^Mh(gM//2*7)s
При 7 = 300 °К: Nу, = 4,97-10!1 слг3, N-4t = 5,03-Ю21 с^Л М = 0,516 ед.
СГСМмвг". иоиент ¦ см 3.
При 7 = 4 °К: ^./, = 3,0-1021 см~\ N-*lt = 7,0¦ 1021 см~3, М = 37,2 ед.
СГСМмягн ыомент ¦ сл-3.
8.9. Из статистической механики известна формула для энтропии S = k In
W. В рассматриваемой задаче для W имеем
W = irw-Г и N = N>,., + N-4,.
Vl - '/а1
Используя приближенную формулу Стирлинга (In N\ = N \п N - N), получим
S = kiNi/t 1п-т^-\-N-y, 1п-д^-V \ "•/, "-1/. /
Обозначим разность A = AL_i/, - Niu. Тогда N-y,=(N-\-A)/2, tfVl = (tf-
A)/2 и
с * / am 4^2 , A 1 N-b\
2 \ N2-Д2 +Д1п ЛГ + д )'
Далее для внутренней энергии системы имеем E = 1l2gy,BHA, поэтому
G = i.№BHA-^(win-si^r+Aln^|).
При термодинамическом равновесии dG/dA = 0. Использование этого условия
дает
W -Д gpBH __ д
Следовательно,
По определению восприимчивость / = М/Я. При выполнении условия g\iBH <^kT
нетрудно получить для х выражение, не зависящее от Н. В этом случае
WnH ^вн м82Пн NS^B
2 kT 2kT ' AkT ' Л 4ЙГ '
8.10. Из результатов задачи 8.9 следует, что магнитная восприимчивость
двухуровневой спиновой системы при условии g\iBH/kT 1 задается
соотношением х = Ng2[L%/4kT.
Предположим, что g-факторы частиц типа 1 и 2 различны: Si и ёг- Тогда
exp (- g.W+fe exp (- t^jkT) _Щ\?В Х exp (- ^/АГЛ-ехр (- g'2/A7') '
Ъ~ \kT ' 1 '
Следовательно,
sl + sl exP (- А/А7')
4jS>7' 1 +ехр (- Д/ЛГ) '
Здесь А - ^1 - ^г. где ^ и - соответственно внутренние энергии подсистем
1 и
8.11. Пусть ? -энергетический уровень 3??-электрона до снятия вырождения.
Энергетические уровни Щ (t = l, 2, 3, 4, 5) могут быть найдены из решения
секулярного уравнения, но сначала надо вычислить матричные элементы
jr,j = <Vt\V\Vj).
Рассмотрим, например, s5T12:
s^i2 = И \ I / (0 Г хуг2 (Ах2 + By2 + Cz2) dx dy dz.
- OO
Поскольку подынтегральная функция нечетна по х и у, то е>^12 = 0.
Аналогично в матричных элементах 13, оЖ' 14, 1В, 0%^23, е%~24,
0^35 подынтегральные функции нечетны хотя бы по одной переменной и,
следовательно, они также равны нулю.
Введем обозначения:
S1 = \lf(r)l2x*z2dx = \\f(r)2z*x2dx=[\f(r)\2y*z2dx и т. д.
s2 = \ I/ (О la **2*dx и т- д--
S3 = 51/(0 \2z2dx и т. д.
Тогда нетрудно показать, что
$1/(0 !2 x2y2z2dx = 1/3Sl,
[\f (г) \2 х* dx = 3 S2, J | f(r) |a л:8 dx = 5 St.
216
Отсюда следует, что
L *^"и = ^ + -g- В + cj Slt еЯ? 22 = ^ А + В -f- o'] Si,
^33 = ^Л + В -f- "з - cj Slt "^44 = 4^4 + В -f- "j- cj Slt
55 == 9 (Л -}- В -}- 5С) - 6 (Л -f- В -f- 3С) S2 -f- (A -f- В -f- С)
S3,
^Г4Б = ^Гм = 2 (Л - fi) (S, - Si).
Матрица 5x5 состоит из диагональной 3 х 3 и недиагональной 2x2 матриц.
Для диагональной матрицы имеем
со, 6wi ерг лйя u>r cv/1
(r)1- ^ 11" С2 = ОЛ 22, *3 - ^ 33*
Секулярное уравнение, соответствующее матрице 2x2, имеет
вид
С?Г41 - еЭ? 45 ___ Г)
cvs1 cys* 5Р/ -
Q/С 4В G/t Б5 - (c)
Следовательно,
^.5=| [^44 + ^55 ± У (^44 - ^ЪьУ + 4^].
Поскольку подкоренное выражение положительно, то Следовательно, поле
ромбической решетки расщепляет пятикратно вырожденный энергетический
уровень Ш на пять невырожденных уровней.
Для поля тетрагональной решетки (Л = В) все недиагональные элементы
матрицы 5x5 равны нулю и ^ = это означает, что в этом случае уровень Ш
расщепляется на три синглета и один дублет.
Чтобы установить обращение в нуль орбитального момента количества
движения, надо показать, что
/.ж = <?,'|/.,!?/> = О,
где i = l, 2, 3, 4, 5; Ьг = - ш{хщ - У^)\ Yj-- собственные функции,
отвечающие возмущению 3d-yровня внутри кристаллической ромбической
решетки.
Пусть
Нетрудно установить, что
Ln == L2 2 = : L33 = Lit = О,
поскольку подынтегральные выражения являются нечетными функциями хотя бы
одной переменной. Кроме того, L56 = 0, поскольку L,W6 = 0.
Далее, поскольку оператор Ьг - эрмитов, то Ltj=LJi. Но каждый элемент Lif
