Задачи по физике твердого тела - Голдсмид Г. Дж.
Скачать (прямая ссылка):
со со
С _________dco___________ _1_ : ___________________________________
J (1 +шЧ;)(со2-С05) tJ J (со + со0)(со - со0)(со + i/Xj)(со-i/Ti)•
- СО - СО
Применяя метод, аналогичный использованному ранее, находим
^ 71-----г^гтъ---------57 = -~Г [(вычет в точке г=-^~)
+ (вычет в
J (1- 00*11) (сог-О Т1 L\ Ь/ 2 '
- 00
точке г = - и0)+4-(вычет в точке г = ю0)1 = - г-г^пг-
z J 1 т со6тх
Итак, для хЧюо) окончательно получаем X" Ы = (Xr,~^°Tl ¦
1+со^тг
Для вещественной части сначала получаем: Xs = X'(°°)- Тогда
(Xr-XS) Ti f "Sdco
X' K) = Xs-
8 Задачи по физике
(1 +С0гт5) (со2 - соз) ¦
225
Интеграл можно вычислить, если учесть, что
1 1' __________to2 da>____________
Tl _'ю + +"о) (<"-"о)
= [(вычет в точке 2 = + у (вычет в точке 2=ш0) +
+ | (вычет в точке г = -соо)] = ¦
Следовательно,
х'Ы = Х5+-р^.
Следует отметить, что интегралы могут быть непосредственно вычислены
элементарным способом, если их разложить на элементарные дроби и учесть,
что
||7+Wd"= ^ = ГД6 " = (1/Tl)tgS-
8.19. По определению время спин-решеточной релаксации т? определяется
уравнением
(tm)*. = -±(Мж-М0), (8.19.1)
где Мг и М0 - соответственно значения мгновенной и равновесной
намагниченностей.
Пусть Nt, Nj,...- равновесные, а щ, tij, ... -мгновенные населенности i-
ro и /-го уровней. Тогда
Nl = Ne-x*= Р-Ь^.) t
где Р = 1 /kTs и Ро = VkT0. Здесь Z = ^]exp(-р?,) - статистиче-
i
ская сумма, N - полная заселенность, 7> - спиновая температура
и Т0 - решеточная температура. Если ре,^1, то имеем
Н, = -т( 1-РЛ), (8-19.2)
При равновесии
?ВД7-2>УЯУ, = 0.
/ /
До установления равновесия
/ /
Вычитая одно выражение из другого, получаем
- ЧГ = 2[("'¦-рч- (Ъ - nj) рн1 j
226
Подставляя nt и N{, находим
~чг=т2 №jpj' - Ш'Р'Л (Р - м-/¦
Далее, если pA^/^l и Рц = Рц, то
- ЧГ = Т 2Рч & ~ *') (Р - Ро)- <8':19'3>
Умножая обе части уравнения на Ш1 и суммируя по i, получаем
-2 *'тг=4 22г-ми,~*>)№-ы-
i i Ф У
Аналогичное выражение получится, если поменять местами индексы i и j.
Сложение этих двух уравнений дает
-22ё'чг=-21ё/чг = -т 22Х(?/-^)2(Р-Ро).
* i 'Ф i
(8.19.4)
Затем, умножая обе части уравнения (8.19.3) на и суммируя по i и j (кроме
случая i = j), получаем
- 2 2=т 2 2ЛА <*'_ s,) (Р _ м-
'Ф1 ^Ф)
Аналогичное выражение получается, если поменять местами индексы i и j.
Сложение этих двух последних уравнений дает
-2р-ро)- (8Л9-5>
'Ф/ 1ф i
Сравнивая уравнения (8.19.4) и (8.19.5), мы видим, что
drii vi drij VI VI " dni
2*,^-=2*/т=-22^- (8.19.6)
* i i Ф i
Из (8.19.2) следует, что ^ ^ Тогда
2*Иг = -т2*гж- (8Л9>7)
i i
-222(r)'T=f222i'*'f' <819-8>
1ф! 1Ф1
2",-|?-=- 4-2*1-§• (8.19-9)
227
Уравнения (8.19.7) и (8.19.9) имеют л членов, содержащих а уравнение
(8.19.8) содержит л (л - 1) членов с 2?(?/, где л -полное число
энергетических уровней. Умножая уравнения
(8.19.7) и (8.19.9) на (л-1) и складывая уравнения (8.19.7),
(8.19.8) и (8.19.9), а также используя соотношение (8.19.6), получаем
2я2"1 ЧГ=~ <8Л9Л0>
Сравнивая уравнения (8.19.4) и (8.19.10), находим
"2
тг Ji*!/
<7
Учитывая закон Кюри М = СН/Т, это уравнение можно записать так:
^Г=------------------------(М,-М").
2
ч
Сравнивая его с уравнением (8.19.1), мы приходим к следующему результату:
1 "7
И&Ь '
*7
8.20. Для S - 1 имеем: Ms = 1, 0, -1. Далее:
Ж* i 1> = (g^BН + VaO) 1>, "ДГ, | 0) = - а/зD | 0),
Ж. I - О = (¦- №вН+l/sD) | - 1).
Отсюда
<1 I "ДГ, 11) = g[liiBH + V3D, <0! "ЯГ, 10) = - ¦/" D, <-1|^|-1) = -№вЯ +
1/з?>.
Недиагональные компоненты матрицы равны нулю. Приравнивая нулю
определитель, получим секулярное уравнение, решение которого дает
&+li-1 = ±g{lliBH + 1/3D и Ш0 = - г!ар.
В этом случае синглетный уровень (Ms = 0) является основным состоянием, в
то время как возбужденное состояние является дублетом (Ms = - 1).
Расщепление в нулевом поле отвечает разности уровней Д", равной D.
8.21. Как обычно, примем
S± = Sx±iSy. (8.21.1)
228
Тогда S? - SjJ^/g (S+ + SL). Далее для H\\z, S = 1 спиновый гамильтониан
имеет вид
= g,finffS, + D (SI-a/3) + VA (S^ + SI).
При вычислении матричных элементов полезно иметь в виду, что
S+|M) = [S(S + l)-Af(Af + l)]V.|Af + l>,
S_| М) = [S (S + 1) -M (Л! - 1)]V- \М - 1). { '
Тогда
Ж, 11> = В#вН I 1> ¦+ VsD | 1) + Шс | - 1), так как SL11) = S_2'/" 10) =
21 -1). Далее
"аг,|о> = -"/зО|о>.
^s\-l> = -ёгРвН | - 1> + V3D I - 1> + *е I I)-
Отсюда
<1 I ъЙГs I 0) = < - 1 I 1 0) = (0 I e?Ts I 1) = <0 I I - 1) = 0,
(l\^rs\l)=gziiBH + 1/3D,
< _ 11 q5T s I - 1) = -g^aH + 1/3D,
<0|^rs|0> = -a/3D,
<11 *ДГЖ I _ 1) = <_ 11 "ДГ, 11) = *e.
Секулярное уравнение имеет вид
+ 0 Шс
О -2l3D-& о =0,
Шс о -g^Btf+v30-?
или
(а/зD + ") [(VaD - ?)а - Й6Я* - #а] = 0.
Из первого сомножителя получаем, что
?i = -2/эО,
а из второго
^г.з = VsD ± + Щ4*-
8.22. По определению
" _"i/a _1А \ гПв л _V<4bil"X"|b/|i> gij - 2, (oi; ЛА/;), где Ay ^-------
-------------,
л (c)я - (c)1
|1) -основное состояние и бу -символ Кронекера. По существу задача
сводится к расчету матричных элементов.