Задачи по физике твердого тела - Голдсмид Г. Дж.
Скачать (прямая ссылка):
имеет множитель -i%, поэтому
Lij - - Ljt, или Lij-\-Lji = 0.
217
Поскольку волновые функции 4*7 являются линейными комбинациями функций Yf
с вещественными коэффициентами, то
<T,'|L,|T,') = 0
для всех 1 = 1, 2, 3, 4, 5. Следовательно, момент количества движения
действительно обращается в нуль.
Для случая тетрагональной решетки исходные волновые функции остаются теми
же и при учете возмущения. Из предыдущих результатов для немедленно
следует, что орбитальный момент количества движения вновь исчезает и в
этом случае.
Другой способ доказательства заключается в том, чтобы записать оператор в
виде
Функции от г, такие как f (г), входящие в собственные функции,
инвариантны относительно Lz. Кроме того, из вида собственных функций и
записи
видно, что элементы Lit всегда будут содержать множитель itl, так что La
будет либо комплексной величиной, либо нулем. Но Lz - эрмитов оператор.
Поэтому Lu должны быть вещественными. Поскольку по определению
то, следовательно, диагональные матричные элементы равны нулю во всех
пяти случаях.
8.12. Поскольку пространственное квантование отсутствует, то можно
использовать классическую больцмановскую статистику. Для намагниченности
в общем случае получим
где 0 -угол между ц и Н. Введем обозначения Jt = ?=-cos0, а-
Lu = ]4tL,V,dx (i = l, 2, 3, 4, 5)
Lu = $ YfL/P; dx = J VtLt4t dx = (J dx)* = L\
Л
j ц cos в 2n sin в dB ¦ exp (fiH/kT)
о
Тогда в общем случав
а
j хех dx
'218
где L(а)- функция Ланжевена. Для а<^ 1 экспоненты можно разложить в ряд
, о.2 . а3 , я1 . а5 , а(r) . а7 .
е±° = 1±а + -т-±-1Г+-йг±-
2 - 6 1 24 - 120 1 720 - 5040 ------
Отсюда путем алгебраического деления многочленов находим
2 + а2 +
^ ^ 12 360 _ 1 а дз 2ц"
Ctna~^ з . q7 - а + з 45 + 945-
+ 3 + 60 + 2520
Итак, для намагниченности получим
,. / а а3 2а5 \ N\i*H
М- Р\ 3 45 945 ¦ • -у ^ зkT ¦
Выражение в правой части отвечает случаю a=\iH/kT <^1, т. е. когда члены
с а3 и а6 можно отбросить.
Этот результат можно получить также разложением экспонент подынтегральных
выражений в исходном выражении для М.
8.13. Для монокристалла с восприимчивостью х. находящегося в магнитном
поле Н, энергия Ш в общем случае задается выражением
Ш = -\н х М,
где
fXii 7.12 Xis'
Xu Хаз Хаз >> Xi3 Хаз Хзэ ,
В главных осях тензора восприимчивости недиагональные элементы Xi2. Хм.
Хгз равны нулю, и можно записать
Я/ А/ А/ __ MJ Я/ . А/
All - Ali А22 A2i АЗЗ АЗ*
Для направления поля Н, задаваемого единичным вектором с компонентами I,
т, п по отношению к главным осям, имеем
X = Xil2 + Xim2 + x3n2.
Если образец состоит из большого числа хаотически ориентированных
кристаллов, то
X = xJ2 + "fam? + Ъп? ¦
Но _ _______
I2 = т2 = п2 = cos2 б,
где б -угол, составляемый направлением поля Н с главными осями.
Следовательно,
cos26=
j
cosa 0 ¦ 2я sin 0 dQ
1
л
( 2л sin 0 dd 8
X = I (Xi + Xa + b).
219
8.14. Угловая часть волновых функций З^-электрона может быть записана в
виде
YlAL2 = cMP? (cos 0),
где рм (cos 0) - лежандровский многочлен второго порядка относительно
cosO. Любое умножение волновых функций З^-электро-нов YM'YM' дает
многочлен четвертого порядка относительно cos 0. Поэтому его можно
представить в виде суммы сферических гармоник до четвертого порядка.
Например,
Pt (cos 0) Pli (cos 0) = уб5(cos 0) + (cos 0^'
В общем случае
у"V"' = 2 2a" (-1 )Mp" (cos 0) exP
M ~ - 4 / =0
Сферические гармоники образуют полную ортонормированную систему функций,
и поэтому потенциал V почти всегда можно записать в виде ряда
V = 2 2 А]ГlrnPn (cos 0) ехр (innр).
т п
Зависимость от радиуса в данном случае несущественна и для простоты будет
опущена. Следовательно,
4 4 2Л
2 2 22*" S ехр [i (vVT + m) tp] x
M = - 4 / = 0 m n
~TC
X
\PiM (COS 0) Pn (COS 0) sin 0 (
dy.
Далее
+ i I
pr(X)PZ(X)dX = ^y±^&(n, [),
где x = cos0. Поскольку при /s^4 этот интеграл равен нулю, то для п^> 4
(M|V"|M') = 0.
Чтобы показать, что матричные элементы равны нулю для нечетных п,
рассмотрим отражения относительно начала координат. Радиальная
зависимость в этом случае не меняется, однако <р-"-ф + л и 0 -л - 0.
Тогда
ехр О'Мф) ехр [fM (ф + л)] = (-1)" ехр (Шф),
РУ(х) = (-1)1+мРУ(-х).
Отсюда следует, что при инверсии Y^ умножается на (-1)м (-1)м + / = (-
1)*, так что -четная функция. Для я нечетного (М j V" | М') = 0,
поскольку при отражении подынтегральное выражение умножается на (-1)"= -
1.
220
Общее доказательство требует более детального знакомства со свойствами
сферических функций и может быть проведено следующим образом.
Рассмотрим волновую функцию
?". I. Я = f (Г) р[т1 (COS В) ехр (мир) = f (г) S," (9, Ф),
где ST - зональная, тессеральная или секториальная гармоника степени I.
Рассмотрим
К, I. Л. = (Г) I's,"* (9, ф) Sf (9, ф).
Произведение rlS?' = fi(x, у, г) - однородная функция координат х, у, г
степени /, поскольку она является пространственной гармоникой степени /,
и аналогично rlST = gt(x, у, г) - также однородная функция степени I.
