Задачи по физике твердого тела - Голдсмид Г. Дж.
Скачать (прямая ссылка):
Отсюда
r2lSfS?' = h2l(x, у, г)
- однородная функция степени 21 (однако не обязательно
пространственная гармоника).
Теперь образуем
V = h2l(x, у, z) - {jp + yt + z*)k9l-t(x, у, z) =
= As/(jf, у, z)-rlk2^2(x, у, г),
где k2l-2(x, у, г) - произвольная однородная функция х, у, г степени 21 -
2. Она содержит I (21 - 1) произвольных постоянных и является однородной
функцией х, у, г степени 21.
Если V к тому же удовлетворяет уравнению Лапласа Vay = О, то V -
пространственная сферическая гармоника степени 21, так что V - Y2i-
Пусть действительно VaV = 0, тогда 1(21-1) произвольных коэффициентов
функции k2l-2 (х, у, г) будут определяться путем сравнения коэффициентов.
Тогда функцию k2l_2(x, у, г) можно считать известной и записать
r2lS?'S?' = h2i(x, у, z) = Y2i + r2k2l_2 (дг, у, г).
Проделав то же с k2t-2 (*, у, г), получим
г21 ST'S?' = y2/ + A2K2,_2 + rV-4(*, У, Z).
Продолжая эту процедуру, мы, наконец, получаем однородную функцию от х,
у, г нулевой степени, которая является пространственной сферической
гармоникой. Следовательно,
r2ls?'sr' = У21 + г2?21_2 + г*У21_<+ ... +r2lY0,
или
5 т* пт' Y2i . Yг1_г . 4 . . v
I bi = -pzr + 72F2' I >2/"4" + • • • + Y0 -
= T2l + T2l-2 + T2i-4 + ... -\-T0, где функции T2l являются
поверхностными гармониками.
221
Все это можно записать в обозначениях секториальных, тес-серальных и
зональных гармоник, т. е. [73]
А
т"= 2 с(т)5Г.
m~-k
Следовательно,
sfsf = ? 2 с*т)5">
fc -А
где k = 0, 2, 4, ..., 2/. Наконец, для волновой функции типа 3d
r22mW,2m.=\f(r) \2lc0+ 2 л+ S c№j,
\ m=-2 m = - 4 /
ИЛИ
= 1/(0 I* [С0+С2Г2 + С4Т4].
Рассмотрим матричный элемент $ Ч,мт^'Рмт' dr, где V= 2 2 АпГпР'пт''
(cos0)exp(t'mq>).
n = 0 m --л
Функцию V можно записать в виде
v= |] впгптя,
П = О
тогда матричный элемент будет суммой интегралов вида
оо л 2л
ChBi^r'ThTidx - ChBi^ ri+idr^ $ ThTi sin 0 d0 dq>.
0 00
Но поскольку для k Ф i благодаря ортогональности поверхностных гармоник
п 2л
$ $ 7'A7\sin0d0d<p = O,
о о
СО
то члены V = ^ Вг/пТп с п Ф 0, 2, 4 не дадут вклада в матрич-
п--О
ный элемент. Поэтому в разложении для V следует учитывать только члены с
п - 2, 4 (член с п = 0 дает только константу). Следовательно, можно
записать
V = Btr'Tt + BirtTt
и сразу получить требуемый результат.
8.15. Из термодинамики известно, что
222
В силу закона Кюри М = СН/Т имеем
(дМ \ _ _ СН_ (дН_\ _
\ дТ )н Г* ' \дМ)т~ С '
Подставляя значения и в исходное выражение,
получаем требуемый результат.
8.16. Согласно статистике Больцмана доля ионов, находящихся на верхнем
энергетическом уровне, равна
ехр (- 6/кТ)
1 +ехр (- 6/kT) '
где S -разность энергии уровней. Для полной энергии имеем
" N6 ехр (- 6/kT)
1+ехр (-6/kT) '
Тогда для удельной теплоемкости Сн = (д%/дТ)н получим
6*N ехр (- 6/kT)
Сн =
кТг [1 +ехр (- 6/кТ)]г '
Поскольку Rm 2 кал ¦ град*1 ¦ моль 1 и для хромо-калиевых квасцов fi =
&/4, то для Сн~о (в кал ¦ град1 ¦ моль1) имеем:
Сн~о -
ехр (-1/4Т)
8741+ехр (-1/47')]я'
График удельной теплоемкости для Т < 1 °К приведен на рис. 8.16.1. Для
металлов при низких температурах Cv = AT-\-+ ВТ3. При Т < 1 °К линейный
член, обусловленный электронами
Сн,кал-мапь^граЭ'1
Рис. 8.16.1. Температурная зависимость удельной теплоемкости хромо-
калиевых квасцов в интервале температур от 0 до 1 °К-
проводимости, доминирует, что показано прямой пунктирной линией на
графике. Следует отметить, что для металлов максимум удельной
теплоемкости отсутствует. При адиабатическом
223
размагничивании
Ту
вW '
где 7\ и Т2 - соответственно начальная и конечная температуры. Используя
исходные данные, получаем Тг = 0,19 °К.
8.17. Исключая из выражений для х' и X* величину сот* и приравнивая
результаты, получаем соотношение
-й-тГ-ь
f-s
Чг
которое представляет собой уравнение окружности, имеющей центр в точке
о) и пересекающейся с осью абсцисс в точках
Xs/Xr и 1, как показано на рис. 8.17.1.
Рис. 8.17.1. Зависимость %"/у"т от
Х'/Хг
Нетрудно также получить выражение для tgq>:
Х7У.г
tg<p =
(Х'/Хт-) - (Xs/Xt-)
8.18. Подставляя выражение для х' (ш) в соотношение Кра-мерса - Кронига
для %" (ш0), получаем
х" К)
da
"о (Хт- У-s)
da
Традиционный способ решения заключается в интегрировании в комплексной
плоскости. Чтобы вычислить первый член правой части, рассмотрим интеграл
по контуру С
С dz
где 2 = m + t'P (контур С показан на рис. 8.18.1). Тогда
^ = 2ni х (сумма вычетов в полюсах внутри С)= 0.
224
Но
- Р-(Do
(De -Р
Hi dz - ? rfto , I* dco , P dto ,
J z2- cog - J to2-(05 \ со2 со(r) J со* -соЦ
¦"Л P -•*' <i)g Ci>o-j-p
Cp cp
Далее
f dz _ f i7?e'" de
5 z2-cos \
(Rty2(r) -C0y)2
Д de
л7?
7?2_соЗ Л2_ша
При -*¦ оо этот интеграл стремится к нулю, как 1 /R. Кроме того,
lim ? т-- p-о } г -со?
ср
= - пх х (вычет в точке г - gj0) == - -.
гщ
Аналогичным образом получим
. • Р dz _______ in
о(tm) ] 5*=^ ~ 2(о0'
р-о J, ср
СО
Следовательно, при /?->- оо и р->-0 имеем: С -^_ = о Интег-
J СО2-С05
dco
рал во втором члене можно записать в виде
