Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Голдсмид Г. Дж. -> "Задачи по физике твердого тела " -> 75

Задачи по физике твердого тела - Голдсмид Г. Дж.

Голдсмид Г. Дж. Задачи по физике твердого тела — Наука, 1976. — 432 c.
Скачать (прямая ссылка): zadachipofiziketverdogotela1976.pdf
Предыдущая << 1 .. 69 70 71 72 73 74 < 75 > 76 77 78 79 80 81 .. 147 >> Следующая

температуры на 1°. Это вполне пригодная для практики система стабилизации
температуры, но она, конечно, ограничена температурами Кюри доступных
сегнето-электриков.
8. Диамагнетизм и парамагнетизм
8.1. Формула для силы Лоренца имеет вид
F=e(E + -vxH).
\ с /
Для круговой орбиты
F= т(йггг0, vxH= -(vrHr0, Е = -^ r0 и, следовательно,
(тга2 + ~ г На - j г0 = 0,
где г0 - единичный вектор, совпадающий по направлению с г. Решая
последнее уравнение относительно со, получаем
еН 2 тс
+ 1Г [МЛ*
- У \ 2тс ) ' тг3
В единицах СГС mm 10-27 г, cm 1010 см/сек, ет 1010 ед. СГС, rm 10-8 см и
обычно Н ^ 100 кэ\ отсюда
(sr)'~10" "
Следовательно,

1024 И -
mr2
еН 2 tnc + 1/IE У mr3
Последний член представляет собой угловую скорость при Н = 0.
Ларморовская частота задается выражением
еН
"i = - ~Ш'
8.2. Для основного состояния атома водорода
? = 1Г=Гехр ")•
V пп* \ Оо /
где а0 (= 0,529 А) -радиус боровской орбиты,
г2 --= $ W*r2Wdx = 3aS, г2 = al
210
Формула Ланжевена для молярной восприимчивости имеет вид
2/7.
*=¦
6 тс2
I
Для атомарного водорода имеем
3Nasjfl _ Q 7g . ^Q-e ед. СГСМ
Л 6/71С2 ' МОЛЬ
8.3. Нетрудно показать, что
Л1+Л8"7^*
отсюда
Х = -1,64 10-* ед. СГСМ/жоль.
8.4. Если р(л) -функция плотности заряда, то заряд элемента объема dx
равен
Q = 2лр (г) гг sin 0 dQ dr.
Наложение поля Н вдоль оси г приводит к вращению системы зарядов с
угловой скоростью ш = - еН/2тс.
Для величины тока имеем
i = Q = шр (л) л2 sin 0 d0 dr.
По закону Ампера создаваемое током магнитное поле равно
dH= idsxr
cr*
(если ток i выражен в ед. СГСЭ).
Благодаря симметрии компоненты этого поля, перпендикулярные оси 2
(направление Н), отсутствуют. Поле в направлении оси 2 равно
dH ------- sin2 0 dO = -^P_W. p sin(r) 0 dQ) d0 dr.
cr с
Интегрирование дает
АН - -& \ ^ ***¦*- ф" (°).
о
оо
где фЕ (0) = ^ 4nr2 dr есть величина потенциала в начале
о
координат, обусловленная сферически симметричным распределением заряда.
Следует отметить, что когда величина фе (0) отрицательна, АН
антипараллельно Н (заряд электрона е всегда отрицателен).
211
8.5. Статистическая сумма Z задается выражением
z = ^ S § "' S ехр (_ ~~ ьТ Ч)) dy dz dpx Pt>dpz'
и для свободного электронного газа Ш - (тя)г/2т. Канонический импульс р и
кинетический импульс mv связаны соотношением
mv=p А,
где А - векторный потенциал.
Переходя от канонического импульса к кинетическому, преобразуем элемент
объема фазового пространства
dpx dpy dp2 - (J) m3 dvx dvy dvz,
где (J) - якобиан
дрх дрх дрх
dvx dvy dv2
дру fyy дру
дох dvy dv2
дРг др2
dvx dvy dv2
= 1,
имея в виду, что А есть функция от Н, х, у, г и не зависит от vx, Vy, v2.
Поэтому статистическая сумма оказывается не зависящей от Н:
Z = S ехр (_ S?-) d = S (2nmkTy/'.
0
Следовательно,
M = NkT -jjjf- = 0,
а поэтому и ц = 0, что соответствует классическому случаю.
8.6. Для частицы, находящейся в магнитном поле, гамильтониан задается
выражением
^"M"-TAhv-
где Л -векторный потенциал.
Для свободного электронного газа V = 0. Далее, коммутатор И", А] = 0, так
как Л -одна из функций координат, данных в задаче, и поэтому р ¦ А = А -
р. Тогда
^=-& + 7^ + ^.
а) В случае Ах = - xtjtiy, Ау - 1/2Нх и Аг - 0 для электронного
гамильтониана имеем
<**¦-ур*)+-Е- ("а + ^2) =
Р2 еН т I е2Я2 , , .
- 2m 2ж * 8тс2 ^ + ^ )•
212
и его удобно переписать в виде
где
Поскольку операторы й, Ьг и рг коммутируют друг
с другом, то собственная функция '^!п.т1,рг У них общая (л, /П/ и рг -
соответствующие квантовые числа). Собственное значение "5*Г0 - это
энергия, связанная с двумерным осциллятором, колеблющимся с частотой со =
- еН/2ж в плоскости ху.
Таким образом, имеем
где т] = 0, 1, 2, ..., поскольку лит/ одновременно являются либо четными,
либо нечетными, и полная энергия не может быть отрицательной.
Следовательно,
Так как операторы рх, рг и коммутируют, а х и г - циклические координаты,
то собственная функция этих операторов будет иметь вид
Y = exp (ikxх) exp (ikzz) F {у), (8.6.1)
где F (у) удовлетворяет уравнению
п, mv Рг - п, int, Рг, Рг^п, mv pz - Рг^ п, т1, Рг.
Поэтому
л, mv pz.
= ["2m mi ^ mv Рг~[~2т "М^1! + 1) Йш|ч,|
б) В случае Ах = - Ну, Ау - 0 и Аг = О
здесь введено обозначение
213
Пусть у0=срх/еН. Тогда
[w+т ^&-Hf&)=(r+'s-)Fte)-(s-s-)';(i')-
Мы получили уравнение для одномерного гармонического осциллятора с
собственной частотой = - еН/тс. Следовательно,
п + у) Н(о1 + -^ = {2п+\)Н(л + ~,
поскольку О)! = 2(0.
И, наконец,
т. е. мы получили тот же результат, что и в случае (а) при n = Ti-
в) Этот случай аналогичен случаю ((j), только здесь одномерный
осциллятор колеблется вдоль оси х и положение равновесия ха = -сру/еН.
8.7. Согласно (8.6.1) для волновой функции имеем
кх. кг = ехр (ikxx) ехр (ikzz) F (у)
и положение равновесия осциллятора
chkx
У° = ^1Г-
Введение периодических граничных условий в направлении оси х дает
ехр (ikxX) = ехр [ikx (x-\-Lx)], или ехр {ikxLx) = 1,
поэтому
kx = 2лпх/Lx,
где пх = ± 1, ±2, ...
Предыдущая << 1 .. 69 70 71 72 73 74 < 75 > 76 77 78 79 80 81 .. 147 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed