Задачи по физике твердого тела - Голдсмид Г. Дж.
Скачать (прямая ссылка):
/S? ч ля _ v 1
Далее
л = f ПкС фк) dMk, о
где Пк - среднее число спиновых волн с волновым вектором к при
температуре Т, а п - среднее число возбужденных спиновых волн. "Газ
спиновых волн" подчиняется статистике Бозе -Эйнштейна и является
полностью вырожденным,
_ 1
Пк ехр (%к/кТ) - 1 '
Следовательно,
УкТ г dx
J ех - 11 о
где x - ^klkT. Из непосредственного интегрирования
ОО
5 iF=Tf = [* - In (е* - 1)]" о
видно, что этот интеграл расходится на нижнем пределе.
Изменение спонтанной намагниченности ЛМ в результате возбуждения спиновых
волн описывается соотношением
п дм N" ~ ЩО)'
где N - число атомных магнитных диполей. Очевидно, что при Я-*-оо М(0)-*-
0, поэтому существование двумерной ферромагнитной решетки в этом случае
невозможно.
9.6. Намагниченность в данном случае равна произведению на разность
между числами электронов с прямым и противоположным направлением спинов:
м = Ив Н^[(r) (*) - WwNii%\ -F [S (k) + ^ а.
Здесь F(&)- функция распределения Ферми -Дирака
F (Ш) -----------!--------
ехр[(й-^)/*Г]+Г
где ^ - энергия Ферми, С (Щ d? - плотность состояний для электронного
газа
и S (k) = h2/t2/2m*. При Г = 0°К имеем
F ф) = 1 для Ш < tJVNwn% +
F(?) = 0 для %>INNv,Vb + %f-
238
Следовательно,
М =
цв /2т*\3/2
(2л)2 \ К1
бр - tNN yptlB
$ VsdX- jj Уш<ш =
= ? &T2 _ (gf _ ?AW^rB)3'2].
Прежде чем перейти к окончательным результатам, запишем
M'^NN^b, С(?)йШ = 2ьУШ(1Ш,
где Ь = const (без учета молекулярного поля), а энергия Ферми
определяется условием
Отсюда
N = 2 § С{Ш)йШ = \ьШУ2.
О
3 А7Х-Г-3/2
где W - число Зй-электронов в системе.
Сначала будем считать, что все энергетические уровни вплоть до уровня
Ферми Шр заполнены и на каждом -по два электрона
а)
6)
Рис. 9.6.1. Заполнение электронами энергетических уровней.
а) Неферромагнитная система, б) ферромагнитная система (действует
молекулярное поле).
с противоположными спинами (рис. 9.6.1, а). Система будет ферромагнитной,
если переворачивание некоторых направленных вниз спинов будет уменьшать
энергию системы. Каждый повернутый спин увеличивает энергию на Д, как
показано на рис. 9.6.1, б. Число электронов с повернутыми спинами равно
п = С{Шр)А = ьУШрА, и увеличение энергии в этом случае будет
пА - С[Ёр)А2.
239
Результирующая намагниченность задается выражением М = 2пцв = 2цвС (Шг)
Д.
kb'
Поскольку молекулярное поле равно -rr-irM, то изменение маг-
iV \L-q
нитной энергии системы имеет вид
Если система является ферромагнитной, то алгебраическая сумма этих
изменений энергии должна быть отрицательной, а именно
C$F)\'-2k^-C4j5Fy\* <0. или
Лг (c) р 3
Если система ферромагнитная, отсюда еще не следует, что в основном
состоянии имеет место насыщение, т. е. что М = N\lb "=!)•
Рассмотрим состояние, когда все спины, кроме одного, направлены-вверх;
тогда все состояния спинов, направленных вверх, заняты вплоть до энергии
ётах. Если переворачивание одного из спинов, направленных вниз, понижает
энергию, то основное состояние будет состоянием насыщения. Чтобы
перевернуть спин, направленный вниз, ему нужно сообщить энергию ?тах,
определяемую соотношением
^шах
N= j С (?)<#,
о
так что
К*х = 22/3ёР.
Так как переворачивание направленного вниз спина происходит в поле
йб'/цл, то изменение магнитной энергии системы равно
Fe = - 2iiB - = - 2M'.
Следовательно, основное состояние будет состоянием насыщения, если
суммарное изменение энергии отрицательно, т. е. когда 2*/"^-2йв'<0, или
~ > 2-,/а (= 0,794).
G р
9.7. Пусть Ма и Мс - намагниченности, обусловленные 3d- и 45-
электронами; На и Нс - эффективные поля, действующие соответственно на
3d- и 45-электроны.
Рассмотрим случай, когда приложено магнитное поле Я. Тогда, используя
приближение молекулярного поля, получим
Ha = H + NwMc, Нс = Н-{-N wMd.
240
В соответствии с законом Кюри для Ма имеем
На Т'
и выражение для паулиевской восприимчивости для электронов проводимости
имеет вид
Чтобы существовало нетривиальное решение для Мс и Md при Н = О,
детерминант, составленный из коэффициентов только что выписанной системы
уравнений, должен обращаться в нуль, т. е.
9.8. Предположим, что каждая частица обладает спином, равным V2. В этом
случае состояния 5=1; Ms = - 1; 0; +1 соответствуют энергиям с + 2ц#; с;
с - 2цН; а при S = 0 энергия становится равной -с. Следовательно, сумма
состояний (функция распределения) имеет вид
Задачу можно решить также классическим способом. Легко показать, что при
классическом решении результат для М будет формально тем же, за
исключением того, что теперь
Приближенные выражения для намагниченности для перечисленных в условии
частных случаев:
Следовательно,
TMd = C (Н + NWMC), Мс = хпарл(НN^уМа).
Отсюда
Тс -CNw
Хпара^'^' 1
Тс = XmpfiNw-
Поскольку M = NkT , то для нашего случая
Отсюда
" 2 NvPH
М~-^.
Полученное соотношение представляет собой закон Кюри. Таким образом,
система ведет себя, как парамагнетик. Этого результата следовало ожидать
для случая, когда энергия теплового возмущения значительно превышает
