Задачи по физике твердого тела - Голдсмид Г. Дж.
Скачать (прямая ссылка):
- d1sin<p px = g[ (x\ iг'). Возвращаясь к исходной системе координат,
получим gi (х, у, г) =
3 V3 /3 \
= as - у dx sin ф cos ф рх - -у- cos ф ру + dx ( 1 - у cos2 фJ рг.
По определению _
1 2J/2
Sin ф = у, COS ф = g- ,
так что _ _
gi(x, У, z) = os-^-d1p*-^|dlp1,--i-d1p,. (3.25.5)
Но так как g1 = f3, то подстановка (3.25.3) в (3.25.1) приводит к
следующему выражению:
1 Уз
g1 = as - у Ьгрх - -у- Ь2ру + с^рг. (3.25.6)
Сравнение (3.25.5) и (3.25.6) дает
b" = HT-4i, = (3.25.7)
135
Из условий нормировки Д имеем
aj + di=l. (3.25.8а)
Из условий ортогональности Д и /2
a; + did2 = 0. (3.25.86)
Из соотношений (3.25.7) -(3.25.86) следует, что
_ 1 . _Уз
а1 2 ' 1 2 '
а остальные константы определяются из (3.25.3), (3.25.4) и (3.25.7), так
что в конечном счете получаем
г 1 , /3
fi 2 ^ 2 Р*'
t 1 , /2 1 /2 - 2 S + у з Рх 2 УЪ Pl'
_J_ 1 1 1
13- 2 s j/g P* у2 Ру 2 Уз Рг' 11,1 1
(3.25.9)
^ 2 Уб PxJry2 Ру 2 У 3 Pz"
3.26. Полная группа вращений в трехмерном пространстве имеет конечное
число неприводимых представлений. Сферические гармоники, используемые для
построения волновых функций для состояний с заданным орбитальным моментом
количества движения, являются удобными базисными функциями этих
представлений, т. е. 2L+1 функций Ylm образуют базис представления полной
группы вращений. Это представление обычно обозначается Dl.
Волновая функция состояния с орбитальным моментом количества движения L
есть
+L
Fl= 2 амУ и/ь
M= - L
откуда, согласно уравнению (3.26.1), следует:
Ra^L = ? еХР (-1'М") ' амУLM-
M= - L
Значит, матрица представления DL, описывающая поворот на угол а вокруг
оси г, будет диагональной, и ее характер y}L) (a) задается выражением
+L 2 L
y^L) (a) = X ехР (-iMa) = ехр (-iLa) ^ (ехр ia)k -
Используя результат (3.26.2), можно найти характеры представлений Di для
преобразований, входящих в группу октаэдра Oh\
Х(Са) = х(л) = (-1)L.
( 1, L = 0, 3, ...,
X (С3) = X (у л] = О, L = 1,4,...,
"•мн-U 3*Йг
Группа октаэдра 0Л содержит оператор инверсии, и поэтому волновые функции
иона в октаэдрическом окружении будут четными или нечетными. Но так
как сферические гармоники тоже
четные или нечетные, то при переходе от изолированного иона
в свободном пространстве к иону в октаэдрическом окружении это свойство
(четности) сохраняется, вырождение снимается, но при этом из каждого
четного (нечетного) членов образуется соответствующее число четных
(нечетных) членов.
Следовательно, чтобы найти расщепление, обусловленное кристаллическим
полем, нет необходимости рассматривать операции, включающие инверсию, так
как они не дают дополнительного расщепления, и можно иметь дело с группой
О (432) вместо Oh (тЗт).
Таблица характеров Таблица характеров для группы
для группы О (432) вращений, входящих э группу О (432)
О Е 8Са 3 С2 6 Са 6С4 О E 8 C3 3C2 6 сг 6C4
А, 1 1 1 1 1 Da 1 1 1 1 1
1 1 1 -1 -1 D\ 3 0 -1 -1 1
Е 2 -1 2 0 0 D, 5 -1 1 1 -1
Тл 3 0 -1 -1 1 D3 7 1 -1 -I -1
Т2 3 0 -1 1 -1 D4 9 0 1 1 1
Из таблиц следует, что:
Dq = A1, не может расщепляться, одномерный случай;
D1 = T1, расщепление отсутствует;
D2 = E -{-Т2, основной пятикратно вырожденный уровень расщепляется на
двукратно и трехкратно вырожденные уровни;
D3 = А2 + Т14-Т2, основной семикратно вырожденный уровень расщепляется на
три: невырожденный и два трехкратно вырожденных уровня;
Di = A1+E + T + Ti, основной девятикратно вырожденный уровень
расщепляется на четыре уровня: один невырожденный, один двукратно
вырожденный и два трехкратно вырожденных уровня.
137
Под влиянием этого возмущения симметрия снижается до Оя.
Таблица характеров Таблица характеров
для представлений группы D3 для представлений группы О в
D3
D, Е to 3С2
Ах 1 1 1
а2 1 1 -1
Е ¦ 2 -1 0
Da Е 2С3 ЗС2
АЛ 1 1 1
А 1 1 - 1
Е 2 - 1 0
ТЛ 3 0 -1
Тг 3 0 1
Уровни, соответствующие Alt Аг и Е, остаются неизменными, 7\ расщепляется
на Е + Л2, а Тг - на Е + Л1 (см. схему расщепления уровней, показанную на
рис. 3.26.1).
Аг Аг
------------"
' - ?
Т ________________
L=3 ------------------------.==-_________ А,
? F
L-2 <rZ Г ______t_
""- ---------_____________Л,
Свободное Кубическое Тригональше
пространства пале искажение
Рис, 3.26.1. Трехмерная группа вращения.
3.27. В отсутствие возмущающего потенциала кристаллического поля все
плоские волны с одинаковыми значениями j/C+ft| описывают вырожденные
состояния. Для ft = 0 в случае кубического кристалла волны с /С=2л(100),
2л (010), 2л (001), 2л(100), 2л (010), 2л (001 j образуют полный набор
вырожденных функций, преоб-
138
разующихся друг в друга в результате действия операций симметрии,
входящих в группу 0Л и образующих базис шестимерного приводимого
представления группы Од.
ою
т
(8)
02)
(та)
(Б)
/ /\
/ / \ \ \ T,J3)
Гги{3* / / \ V i&jgj O')
Zu'"' / / \ V\ '/"""I
A?u(" /___
Ь'(r)--/ у±я/ т .
г,.а> / / , ...
Пг-г'--^т\-~^т ij/fi -/----- 7
*§:______
/
/
S
/
TfJJ} /_____________(з)
\EgOl/ А (Г) (1)
-------а---------
