Задачи по физике твердого тела - Голдсмид Г. Дж.
Скачать (прямая ссылка):
. __ 1 . 1 .
Pi ------------4 оi Ь2-
¦ ь3,
где Си с2, с3 -векторы, определяющие (кубическую) элементарную ячейку в
начальном состоянии, а Ьи Ь2, Ь3 - те же векторы после деформации. Тогда
С\ ¦ Cl = с2 ¦ с2 = Сз ¦ с3 =¦- a2, Cl - с2 = с2 ¦ с3 = Ci • с3 = 0.
Используя результаты задачи 4.2, легко находим, что при заданной
деформации
bi ¦ bi, = Ci • Ci + c?2t)u = a2 (1 + 2t]u) , b2 ¦ b2 = a2 (1 -f- 2tj22)"
Ьэ ¦ b3 = a2 (1 -f- 2t)33) , bi - b2 = b2- b3 = b3' bi - 0.
Следовательно, в деформированном состоянии элементарная ячейка будет
прямоугольным параллелепипедом. Длина pj, например,
142
находится из выражения для скалярного произведения р[ с самим собой:
и, следовательно, для заданной деформации длины всех связей равны друг
другу.
Пусть 0mn и Ъ'тп - углы между связью, соединяющей 5-й атом с т-м атомом,
и связью, соединяющей 5-й атом с п-м атомом, в недеформированной и
деформированной конфигурациях соответственно. Тогда можно записать
Таким образом, углы между связями, которые все одинаковы в
недеформированной конфигурации, после деформации не будут одинаковыми.
4.4. Настоящая задача должна показать существенную значимость бесконечно
малого приращения деформации. Первая часть задачи решается
непосредственными подстановками в соответствующие соотношения. Например,
xl - Xl + РijXj = [а1 + <х1рар) + Ру (Яу + а/'р<2р) - = al + ("ip + Pip +
Рij&/p) ар = al + ("ip + &alp) api
pi ¦ Pi - (Pi)2 - jg Ф1 bi + bz Ьг b3 ¦ b3) -
Аналогично
Pi ¦ Pa - P1P2cos (r)u -
= - -i- a2 (1 + 4t]u - 2т]зз).
Из первой части следует, что р[ = ра, т. е. р1рЦ = (р[)2 и
Для недеформированного состояния
COS 612 =-------д- .
Аналогично
14~2т1зз_____
3+4г)и + 2т1зз '
COS 0u = COS 633 = COS 634 = COS 0I" COS 034 = COS 0[j.
так что
Set ip - P ip -j- P ij&jp'
143
Если деформацию можно всюду задать как бесконечно малую, тогда, как и в
задаче 4.1,
2 Ejk = a.jk + а*/, 26 Ejk = б ajk + 6akj- = рЛу + руЛ,
поскольку членами fiijOijp можно пренебречь.
Для точного описания конечной деформации запишем
2т| ij = J piJ pj б ij.
Тогда для бесконечно малых отклонений от исходного деформированного
состояния имеем
2бт];у = J р;б J Fj + б J piJpj,
где
J pi = J pi ""Ь б J pi - &pi Яр/ б GCpi = J р1 -j- 6ot р[я
Отсюда
б J pi = б CLpi = Рр/ -(- Р pjCtji = Р pj (&ji -f- ССц) == P pfJ ft,
26% = J pftpkj kj + P piJ uJ pj-
Обозначив немые индексы одинаковыми буквами, получим
2бг)(у = JhfiktJij-\- Jki РikJц - Jki (P*z + P/*) Ji],
т. e.
6ril7 - J ki^ 1 76 F.fci.
Отметим, что решение задачи может быть более простым, если
воспользоваться методами тензорного анализа.
4.5. В предыдущих задачах мы обсудили конкретные способы задания
деформаций и их физический смысл. В настоящей задаче мы воспользуемся
этим обстоятельством, чтобы получить корректную формулировку
термодинамических соотношений теории упругости.
Определение компонент напряжений дано во всех стандартных учебниках.
Если взять единичный куб с ребрами, параллельными координатным осям, то
Gij есть i-я компонента силы, действующей на перпендикулярную /-му
направлению грань куба. Отсюда следует, что если мы возьмем вектор
единичной длины, исходя из центра куба параллельно направлению 1, то на
концы этого вектора будут действовать силы а1ь а21, аЭ1 в направлениях 1,
2, 3 соответственно.
При дальнейшей бесконечно малой деформации, задаваемой как бEtj, этот
вектор удлинится на беп в направлении 1 (см. задачу 4.1). Поэтому сила аи
совершит работу, равную on6en. Аналогично получим вклады в работу а22б?22
и а33 8 е33.
Что касается остальных компонент, то данный вектор повернется на угол
etj! относительно направления 2, что даст нам работу, равную а21а21.
Точно так же вектор в направлении 2
144
поворачивается на угол ai2 относительно направления 1, и при этом
совершается работа (Ti2a12. Так как oi2 = (T21 и поскольку (как показано
в задаче 4.1) a12 + a2i = 26е12 = 6е12-(-6е2Ь то этот результат, вместе с
такими же результатами для всех остальных направлений, можно записать в
виде
= (ТубЕу.
Здесь представляет собой работу, отнесенную к единичному объему в
деформированном состоянии, которую надо затратить, чтобы совершить
дальнейшую бесконечно малую деформацию 6е.
Поскольку этот результат относится к какому-то определенному количеству
материала, которое в процессе деформации меняется, то величина не может
служить термодинамическим параметром. Поэтому удобнее рассматривать
работу 6W\ приходящуюся на единицу массы. Очевидно, 6W связана с
следующим
образом:
6W = 6W1/p,
где р -плотность в деформированном состоянии.
Для доказательства последнего соотношения начнем с того, что 8W =
0;;8Еу/р. Получим а,-у = pdW/dEjj. Рассматривая W как функцию т]Аг и
воспользовавшись равенством бт]Аг = JikJЦ&Ец, получим
dW dribi. dW f 0,7 ~ P d'\kl feij ~ P d\]k[ lk H'
Это выражение является важным, так как оно дает точное соотношение между
напряжениями и деформациями.
4.6. Из предыдущих задач следует, что основным соотношением теории
