Задачи по физике твердого тела - Голдсмид Г. Дж.
Скачать (прямая ссылка):
дают изменение этих переменных по отношению к начальному состоянию с
температурой Т0 и нулевыми напряжениями. Если ограничиться квадратичными
членами, то ряд будет иметь вид
0(Г. + ДГ, ^>=0(7., ОН-2, [;Щ (Л7)' + '||;л";,-|-
+2(4^Ь''С,,+2(^).(47Н (к1ф11)- (4-8-3)
Вычислим значения коэффициентов для данного состояния. Из уравнения
(4.8.2) следует
дЮ _ _ / dS \_____________1 "
дЛ _ [ дТ Ла> _ Т
где Са -удельная теплоемкость, измеренная при постоянном напряжении. В
общем случае
3*0 \ If dEjj_\. _ _
dGij даы /т Ро \ даы Jt Ро l>- kh
где s*. ы, определяемые этим соотношением, представляют собой
изотермические упругие коэффициенты податливости. Наконец,
дЮ дТ диц
148
где Щ], определенные этим соотношением, - это коэффициенты тепловой
деформации (теплового расширения). Используя эти определения и уравнения
(4.8.2) и (4.8.3), в рамках нашего приближения имеем
Еу = Sfy.*/<rw-f-oty АТ, (4.8.4а)-
AS = -^-eyffy + -~C0A7'. (4.8.46)
Для нашей задачи рассмотрим следующие случаи обратимых процессов.
Переведем твердое тело изотермически из начального-состояния с нулевыми
напряжениями (состояние 0) в состояние 1, где (ти - единственная
ненулевая компонента напряжения. Деформации будут еи, е22, е33. Из
уравнения (4.8.4а) имеем
т
Бц - sll°ili ^22 - е33-s12°ilt
все остальные
E,j = 0
(мы учитывали ограничения, налагаемые кубической симметрией: на
коэффициенты упругой податливости).
Из состояния 1 переходим в состояние 2, при этом температура
увеличивается на АТ, деформации остаются постоянными, а компоненты
напряжений теперь становятся а'п, а^, а^3. Для этого состояния
еи = s[,an = s[ta[; + 2s[2a'2, + а АГ,
622 = = slsa'n + + sl2a'.2i + a AT,
так как из соображений симметрии ясно, что cr^ = СТ33 и ап = = а22 = а33
= а. Исключив сг^а из этих уравнений, получим
, _ а АТ
СТц-СТц- - st+2st
и, устремив АТ-"-0, получим требуемый результат.
Для второй части задачи проще всего рассмотреть свободную энергию F на
единицу массы:
Отсюда
F - U - TS, d.F = - SdT + -ai]dte,i].
Ро
-S = (ar)<e)' р1ач = [щ}т'
ds\ =1/ао^\
дец]т Ро \дт){е)-
Величина справа определена в первой части задачи.
4.9. В задаче 4.8 были выведены уравнения (4.8.4):
ЕЧ ~ Stj, kl°kl aif ^'
AS = ~a{Jotj + ±C0AT.
149
Рассмотрим следующий цикл: тело переводится из начального состояния с
нулевыми напряжениями и температурой Т0 (состояние 0) в состояние 1,
имеющее температуру Т0 и давление р; мгновенное снятие напряжений
соответствует адиабатическому переходу из состояния 1 в состояние 2, где
давление равно нулю, температура равна Т0-\-АТ, а энтропия такая же, как
в состоянии 1. Цикл можно дополнить изменением температуры тела обратно
до Т0 при нулевых напряжениях.
В состоянии 1 компоненты напряжения сгп = а22 = Озэ = - Р. а все
остальные а,у = 0. Используя известные ограничения, налагаемые симметрией
на sJf kr получим деформации в этом состоянии:
Бц = - (s^ + 2s,7;) р = e22 = Езз. все остальные еу = 0.
Далее, из задачи 4.1 вытекает, что в этом случае
Используя условия симметрии, налагаемые на at], можно получить изменение
энтропии при переходе из состояния 0 в состояние 1:
В состоянии 2 значение AS такое же, как и в состоянии 1, а компоненты
напряжений равны нулю. Если температура равна То + АТ, то из второго
уравнения
что и требовалось доказать.
4.10. При гидростатическом давлении компоненты тензора напряжений будут
а11 = а22 = а33= - р.
Для материала с кубической симметрией это приводит к очевидному
результату: матрица градиентов деформации и матрица конечных деформаций
имеют вид
За р Са Д Т
Ро Т0
где "Пи = V2 (У?1 - 1).
Из задачи 4.2 следует, что
V=V0\J\ = V0Ju,
т. е.
150
Из задачи 4.5 имеем
/а dF р j" dF (V0\ ,а dF 1 д .
Оц- - Р - pJn ^ Р"7!. - \у) fWn (P"f)•
Дифференцируя выражение для p0F и воспользовавшись тем, что Лп = Л22 =
Лзз. Ли. ... = 0, получим
Р = jjcn ~Ь 2с12) Ли 4~ "у (с1и ~Ь 6с112 + 2с12э) л iiJ -Если положить
a - Си 4" 2С12, Ь = У2 (Сщ 4~ бс112 +^123)1
то можно записать соотношение между давлением и объемом:
-Р = "Г1/3 [V2a (У2/3 -1)4- lUb (у*/з - 1)*], где y=V/Vo• Запись
V=V0 + AV, у= 1+х,
где x = AV/V0, и последующее разложение в ряд по х приводят
к соотношению
a , х- (. За)
Р~3Х 4--д [Ь 2)'
4.11. Уравнения движения малого элемента объема под действием напряжений
имеют вид
- _ у до ij
Р dt* ~ L. дх/ ' i
где оij - компоненты тензора напряжений. Для малых перемещений,
рассматриваемых нами,
дац dot/ x^at + щ, -5_ = _, р = ро,
d2Ui ^
Ро~№ = 2;~daf'
I
Компоненты тензора напряжений at/ связаны с компонентами перемещений
следующим соотношением:
s s 1 /ди
= тп&тл - Cij, тп * ~2
Отсюда
гг.. - г- е - г- . д I дит I дип \ ui/ - t'W. т/1ьтл ^и. тп r> \ ^ i у*
Ро
д2ч _ V 1г (д'и(tm) I d°~Un \ - V /. d*Um
- ? 2 Ll>-тп [да,- дап + да, дат ) ~ ч>- тп да,- дая
У, т, п !, т, п
дР
(так как Сц1тп - Су_пт).
а) Применим решения этих уравнений для плоских волн,
распространяющихся в направлении [100]. Эти волны вызовут смещения
