Задачи по физике твердого тела - Голдсмид Г. Дж.
Скачать (прямая ссылка):
Эксперимент дает значения ао = 0,77 ¦ 10'24 см3\ aN = 1,13 ¦ 10 24 см3.
3.15. Искомое уравнение будет иметь вид
' a=l fe=l /
где Да и Д* - операторы Лапласа, действующие на ядерные Ra и электронные
rh координаты соответственно, а потенциал V задается в виде
i<k к, а а<Ь
3.16* Искомое уравнение имеет вид
(-y2A*+l')1F=*"rtF' (3-16-1}
где *
v=2ttf^-2t^i+2^i- <316-2>
t<k k, а а<Ь
3.17. Уравнение Шредингера в сферических координатах имеет вид
_ _?1 Г!____(D2 д \ . 1 I 1 Л:п А _Ё_'П Шядери i
2ц |_Я2 dR dR 1 ^ R2 sin2 fl dtp2 ' R2 sin 6 \ dQ /_| ^
4-?эл(Д)\рЯдерн = ?\1гЯдеРн1 (3.17.5)
Подставляя
\рЯдерн = fW. Q (ft) ф (ф)
и разделив на -^-8 (^)Ф(ф), приведем уравнение (3.17.5) к виду
ft2 Г 1 d*f . 1 Id2(r) 1 1 d / . " d0\] " e
2ц |_ f dR*~T~ R2 sin2 ЙФ dtp2 + R2 sin fl 0dfl \Sln dQ JJ + -
(3,17.6)
126
Умножая на 7?2sin2d, получим, что член, зависящий от <р, равен члену, не
зависящему от <р, т. е. равен константе. Обозначим эту константу -М2.
Тогда
Нормированные решения этого уравнения хорошо известны:
Если учесть уравнение (3.17.7), то уравнение (3.17.6) примет вид
Второй и третий члены этого уравнения не зависят от R, а остальные не
зависят от О. Приняв, что член, содержащий О и заключенный в скобках,
равен -С, можно разделить переменные и получить отдельные уравнения для 0
и для /:
При C = /(/+l). J = 0, 1, 2,... уравнение для 0 имеет известное
(нормированное) решение
рядка |Л4|^.Л Величина J определяет значение момента количества движения
молекулы как HYJ (J + 1)-
Подставим ёзл и С из уравнений (3.17.3) и (3.17.11) в уравнение для f.
Тогда вместо (3.17.10) получим
+ (3-17-12) Член h2J (/+ 1)/2ц#а представляет собой вращательную энергию
молекулы и при малых J может быть заменен своим значением при R = R0.
Заменив R - R0 на р, получим
Это уравнение гармонического осциллятора. Его собственные значения
где о - угловая частота соответствующего классического гармонического
осциллятора <в=]/Д/ц и п = 0, 1,2, ...
(3.17.7)
Ф.и(ф) = у-'ехр |'Мф, М = 0, ± 1, ±2, ...
к* г дз d'-f м*_______L-_L^-
2ц L / dR2 sin2в sinfl 0 db
1 d
(3.17.9)
(3.17.10)
где P]jM 1 -присоединенная функция Лежандра степени J и по-
(3.17.13)
127
Нормированные функции f (р) будут иметь вид
f.(Р) -уш И. (р УЩ е"Р (- Щ, (3.17.14,
где функции Ня - полиномы Эрмита.
3.18. Уравнение Шредингера (3.18.1) в системе координат ?,
~ ad + *Г [(1 _^ вп ] +
1 , 1 \ е>2 1 лтг .. -_ч 4?
/г" № +
?г-1
\-г\2] 11' ^ /г (ga - TJ2) 111 Ср^ -
= ("-i")4F(S. "П. Ф). (3.18.4)
Пользуясь уравнением (3.18.3), получим
d20>
d<f'
2 = - т2Ф,
(3.18.5)
J
dt
d
m
2
C*-i
n
л)х = о,
' (3.18.6)
, -A)Y = 0,
dr\ L ' " ' dr) j 1 \ ¦ 1 - rf
где X = ^*-(e- ^), A - постоянная, возникающая при разделении.
3.19. Как было показано в задаче 3.18, электронные волновые функции для
Н.2 имеют вид
t/(S, 11. ф) = А- (Е) К (л) Ф (ф). (3.19.3)
где ?, *!• Ф - сфероидальные координаты, определяемые уравне-
ниями (3.18.2). При R, стремящемся к нулю, эти координаты переходят в
сферические координаты г, 8, ср "единого атома", согласно соотношениям
Т_гд + гь 2 г
Ь R R'
Та ТЬ
->cos б, ф->ф (3.19.4)
Рис. 3.19.1. К уравнениям (3.19.3) и (3.19.4).
(рис. 3.19.1). Так как квантовые числа п^, ,1tii л<р узловых поверхностей
X (?) = О, У (т]) = 0 и Ф (ф) = 0 остаются неизменными при R-> 0, то,
следовательно,
п^ = пг, пц = пв, пф = п,р. (3.19.5)
Соотношения (3.19.2) могут быть использованы для получения первых двух
столбцов табл. 3.19.1, в которой устанавливается связь между
молекулярными состояниями и состояниям" "единого атома". В этой таблице
используются обычные обозначения
128
молекулярных состояний. Символами ns, пр, nd обозначены атомные
состояния, которым соответствуют молекулярные состояния. Индексы ст, л, б
указывают состояния с | m | = 1, 2, 3 соответственно, а индексы gnu
указывают на четность или нечетность соответствующей волновой функции при
инверсии координат относительно центра симметрии молекулы.
Таблица 3.19.1
"Единый атом" Молекула Разделенные атомы
n I \m | ni л п п
n <p Л ф
Is 1 0 0 lsag 2sag 2 pau 0 0 0 0 0 0
Is
2s 2 0 0 1 0 0 1 0 0 2s
2p0 2 1 0 0 1 0 0 0 0 Is
2P±1 2 1 1 2 pnu 0 0 1 0 0 1 2P i i
3 s 3 0 0 3 sa~ 3pon 2 0 0 2 0 0 3s
3po 3 1 0 1 1 0 1 0 0 2s
Зр 4- i 3 1 1 Зря и 1 0 1 1 0 1 3/>+1
3d~ 3 2 0 3 dae 0 2 0 0 1 0 2p0
3 d±l 3 2 1 3dKe 0 1 1 0 0 1 2 P±l
3d+2 3 2 2 3d6g 0 0 2 0 0 2 3d-i 2
4s 4 0 0 4 sag 3 0 0 3 0 0 4 s
4Po 4 1 0 4 paa 2 1 0 2 0 0 3s
4/>+i 4 1 1 4p*u 2 0 1 2 0 1 4P:M
4d0 4 2 0 4 dae 1 2 0 1 1 0 3po
4 d±l 4 2 1 Un 1 1 1 1 0 1 3 />,,
4d^.;2 4 2 2 1 0 2 1 0 2 4^+2
4/o 4 3 0 4/au 0 3 0 0 1 0 2p0
Соотношение между молекулярными состояниями и состояниями разделенных
атомов более сложное. При удалении одного из протонов, например В, в
бесконечность, т. е. при R -voo, волновые функции U (?, rj, ф) переходят
не в водородные функции ?(/-, 0, ф) в сферических ко- г/ '-
ординатах, а в водородные волновые функции
