Задачи по физике твердого тела - Голдсмид Г. Дж.
Скачать (прямая ссылка):
перпендикулярно к а; для (h.01) h-\-l четное, скольжение п
перпендикулярно к Ь\ для (hk0) нет погасаний; для (h00) h четное; для
(0&0) k четное; для (00/) I четное.
104
Три последних погасания однозначно получаются из первых двух, т. е. из
плоскости скользящего отражения. Следовательно, пространственная группа -
РЬпт. На рис. 1.12.1 показаны правильные системы точек (а) и
распределение элементов симметрии (б). Так как в элементарной ячейке
имеется только по четыре атома каждого элемента, то каждый атом должен
находиться в частном (четырехкратном), а не в общем (восьмикратном)
положении.
Частными положениями на плоскости симметрии являются
X, у,
1
2 -У'
1
4 '
3
"4
2 +*•
х, у,
1 1 I 1
х, I) "4" у* ^ ¦
2 2
Существуют две системы частных положений на центрах симметрии:
О, 0, 0;
о;
о, о,
, о, 0;
0, 4, 0; 0,
1_
2 '
0,
_1
2"
_1_. 2 '
1 2
l_t 2 '
' 2
Рис. 1.12.1. Правильная система точек и элементы симметрии
пространственной группы РЬпт.
Атомы трех сортов могут занимать любую из этих систем частных положений.
На единичную ячейку приходится по восемь центров симметрии.
1.13. Векторы обратной решетки А, В, С выражаются через векторы прямой
решетки а, Ь, с следующими соотношениями:
A = bxc/V, B = cxa/V, C = axb/V,
где V - объем элементарной ячейки в прямом пространстве. Пусть i, j, к -
ортогональные направления в прямом пространстве вдоль осей кубической или
ромбической ячейки.
а) Примитивная ромбоэдрическая ячейка может быть описана как
гранецентрированная кубическая (с длиной ребра, равной а). Векторы ребер
этой ячейки:
а = 4а/+^ай, b = ~ai + ~ak, c = \ai + -
aj-
105
Следовательно,
V A bxc =
а О 1
1
2 й
2 а 2Я
О
i / k
где V = a-(bxc)=as/4. Отсюда
А = (- i-\-j-\-k)/a
и аналогично
B*=(+i-j+k)Ja, C = (+i+j-k)/a.
Это векторы примитивной ромбоэдрической ячейки, выраженные через ОЦК
решетку. Так как прямая решетка тоже является обратной по отношению к
своей обратной решетке, значит, обратной к ОЦК решетке является ГЦК
решетка.
Рис. 1.13.1. Ромбическая С-ячейка.
а) Прямая, 6) обратная.
б) Примитивная ячейка может быть совмещена с орторомбнче-ской С-ячейкой,
как показано на рис. 1.13.1, а. Таким образом,
• • 1 • I 1 у > " * > abc
a - ai, b = ~irai+~irbj, c = ck, V = -s-,
-U B=h\ С
к.
Эта решетка тоже С-орторомбическая, как показано на рис. 1.13.1, б.
1.14. Из значений 0 получим значения sin2 Э. Для данных восьми линий:
sin*e~(A* + *1 + /1)~3, 4, 8, 11, 12, 16, 19, 20.
Следовательно, искомые индексы будут 111, 200, 220, 311, 222, 400, 331,
420. Учитывая, что d~2 = (Л2 + к2 + 1г)/а2 и Я = 2d sin 6,
106
находим а = 6,30 А. Используя выражение р = ZM/V, где V = а3, находим
значение Z - 4.
1.15. Из значений 0 получим значения sin20. Материал не кубический, а
гексагональный плотноупакованный. Индексы: 1010, 0002, 1011, 1012, 1150,
1013. Используя выражение для dr2 = = [4 (h2 + hk + k2)/3a2] +12/с2 и
формулу Вульфа - Брэгга, находим а = 3,21 А и с = 5,21 А. Зная, что р =
ZM/V, где К = ]/лЗагс/2, Z = 2, находим М = 24,3 (магний).
1.16. По данным значениям расстояний х получим значения для S, подставив
x/r = 2S; затем вычислим sin2б для каждого пятна. Эти значения
пропорциональны 1, 2, 4, 5, 8, 9, 10, 13~ r^(h2 + k2). Следовательно,
индексы будут 100, 110, 200, 210, 220, 300,310, 320; а = 8,64А,если мы
подставим sin20 = к2(И.2 + &2)/4а2 + + к212/4с2 при / = 0.
Для оси с воспользуемся выражениями h/r = tga и nX/c = sina, где h -
высота п-й слоевой линии. Отсюда с = 7,18 А. Значит, будут видны только
первая, вторая и третья слоевые линии на расстояниях 0,66, 1,43 и 2,53 см
над нулевой слоевой линией.
1.17. а) Отражение (300) отсутствует потому, что пирит обладает
гранецентрированной кубической структурой, для которой выполняется
условие: h, k, I либо все четные, либо все нечетные. Это достигается при
значениях 0, удовлетворяющих условию
2
ка = 2d sin 0 = у a sin 0.
Отражение р, получающееся при этом же 0, имеет символ (hkl).
Следовательно,
откуда
Щ = Н2 + к2+Р = 1,216 и h2 + k2 + l2=ll.
9
Символ (hkl) = (311), что не является систематическим погасанием,
б) X = 2dsin0, следовательно,
л j L dL
dk = dcos^.T,
где 2^ - Llr, г - радиус камеры, L - расстояние, измеренное на пленке.
Имеем
d\ . 0 dL X " ^ 2г'
откуда 0 = 76,1°.
1.18. Необходимые операции представлены с помощью степеней их
международных символов; i соответствует инверсии в центре симметрии, а 1-
оператору тождественности.
107
Моноклинная 2/m
Ромбическая mm 2
I1 m 2 i I1 mx my 2г
1 1 m 2 1 1 mx my 2Z
m m 1 i mx mx 1 2Z my
2 2 i 1 m m у Щ 2, 1 mx
i i 2 m 2Z 2" my mx 1
Ромбическая 222 Тетрагональная 4
1 2X 2 у 2Z 1 4 2 4'1
l 1 2.v 2y 2Z l 1 4 2 4 1
2* -X 1 2г 2 у 4"1 4-' 1 4 2
2 у 2у 22 1 2X 2 2 4_1 1 4
2г 2у 2X 1 4 4 2 4> 1
Тетрагональна я 4
1 4 2 V1
l 1 4 2 4 1
4 1 4 1 1 i 2
2 2 4 1 1 4
4 4 2 4'1 1
Здесь 4 и 1- представления циклической группы четвертого порядка; 2/т,
