Задачи по физике твердого тела - Голдсмид Г. Дж.
Скачать (прямая ссылка):
я--~ = -у, или (n-2)(q-2) = 4.
Следовательно, п может равняться только 3, 4, 6. Этим, очевидно,
доказывается, что из выпуклых многогранников только треугольники,
квадраты и шестиугольники могут заполнить плоскость без промежутков (три
правильных заполнения плоскости).
Рис. 1.11. К доказательству невозможности существования оси симметрии
пятого порядка.
4 Задачи по физике
97
б) Единичный вектор нормали к грани (Ш) есть F=/cosa + + Jcos (J +
fccosv, где cos а-направляющий косинус угла с осью
х и т. д. Тогда по определению индексов Миллера (рис. 1.1.2)
F = ~i + ~J+~k.
а 1 Ь J 1 с
х г гх
Рис. 1.1.2. К определению индексов Рис. 1.1.3. К доказательству связи
Миллера. между индексами в четырехосной си-
стеме координат.
Направление оси зоны описывается вектором
Z = uai + vbj+ wck.
Так как F и Z взаимно перпендикулярны, то F-Z= 0. Следовательно,
hu + kv+lw - 0.
в) В кубической системе единичный вектор нормали к грани равен
л . и . di_k
a a J 1 a
а направляющий вектор
Z = hai + kaJ-\- lak;
F и Z параллельны.
г) F1 = di (Ail + kij-\- lih)la,
F2 = d2 (A2i + k?j + 1%к)/а,
Fi • Fz = cos ф = (hjiz + к±кг + /i/2)/aa.
Так как
то
1
d2
COS ф =
a2
/№+*i+4> №*+"+">
98
д) Из рис. 1.1.3 видно, что площадь ОАС + площадь ОВС = = площадь ОАВ.
Следовательно,
1 CL CL о 1 CL CL ллп 1 fit fit плп
- -7ГТ- - Sin 60 - -Sin 60 = TTTT -r Sin 60 ,
2 h i 2 k i 2 h k
откуда
h + k + i = 0.
1.2. Согласно закону зон (закон Вейсса) hu + kv + lw = 0. Следовательно,
(Ш) = (328). Угол между (001) и (hkl), равный 45°5', можно получить,
используя сферические треугольники или тот факт, что сумма квадратов
направляющих косинусов в системе ортогональных осей координат равна
единице. Затем, при-
меняя то же уравнение к нормали, имеем: acos [(100) (hkl)}/h =
= b cos [(010) (hkl)]/k = ccos [(001) (hkl)]/l и получаем a =10,5 A, с =
24,6 A.
1.3. На рис. 1.3.1 ABCD - базис гексагональной элементарной ячейки, AD =
AB = a. В следующем слое сфера имеет центр
Рис. 1.3.1. Основание гексагональной элементарной ячейки.
Рис. 1.3.2. К расчету отношения с/а.
в точке F, как раз над Е, и касается трех сфер с центрами
2 2 V 3
в точках А, В, D. Величина АЕ = у медианы i4G = -g--y-a =
^ Отлтлттп Z7 Z7
( с\ аУ 2 , " , п "с 21/6
= 7г 0(tm)m(=v)=-Vt (рис. 1.3.2), и = з Из рис. 1.3.3 и 1.3.4 видно, что
tga=---= -^- = ^-=1,8853, a cos 30" а У 3 3
откуда получаем a = 62°03\
4* 99
Из рис. 1.3.3 и 1.3.5 имеем
tgP = -f- = 3,265,
откуда следует, что Р = 72°58'.
Рис. 1.3.3. Стереографическая проекция гексагонального кристалла.
Рис. 1 3.4. К расчету угловых соотношений в гексагональной плотноупако-
ванной ячейке.
Чтобы найти у, надо решить сферический треугольник ABC с прямым углом при
вершине В (рис. 1.3.6), используя правила
Напьера, т. е.
cos у = cos 60° • cos 27°57',
откуда следует, что у = 63°48'.
А
Рис. 1.3.5. К расчету угловых соотношений в гексагональной плотноупако-
ванной ячейке.
Рис. 1.3.6. К решению сферического треугольника.
Можно также использовать следующую формулу для угла <р между (hkil) и
(h'k'i'l'):
pnR = [W +kk> + (hk' +h'k)/ 2] a*2 + U'c**
VQ (hkil) ¦ Q {h'k'i'l')
где Q(hkil) = (h2-\-hk-\-k2) а*г-\-1гс*2, a* = 2/a}/3, c* = l/c.
100
1.4. Теорема Эйлера весьма подробно рассмотрена в книге Бургера [45]. Из
нее следует:
Сочетания А в с cos с С Число осей каждого типа
432 90° 120е 180° 1/Кз 54°44' 3, 4, 6
532 72° 120° 180° 0,7947 37°22' 6, 10, 15
643 60° 90° 120° У"2 + |АЗ> 1 - -
Группа 432 принадлежит к кубической системе; в ней с - угол между
направлениями [100] и [111]. Группа 532 является некристаллографической,
примером ее служит икосаэдр.
Сочетание 643 является недопустимым.
1.5. Обозначим плоскость зеркального отражения, параллельную полосе,
через т, перпендикулярную к полосе - через М, а плоскость скользящего
отражения - через g; ось - симметрии второго порядка обозначим цифрой 2.
Всего существует 7 групп: 1, 2, т, g, М, 2тМ и 2gM (ось 2
возникает на пересечении плоскостей).
1.6. Вычисление 7И = У- I l*-l I I 1/1
jLi rt -(c)-eri-(c)-в-(r)-е-(c)--
<¦ I I Irl 1г1 I
(+1 для положительных ионов,-1 -е-(c)-(c)-(c)-е-(c)-(c)-
для отрицательных) проведем сна- ___@_д_0_дЛ_0Я_д__/
чала для квадратной группы EFGH J Y Т"/ Т Т ~
(рис. 1.6.2), причем от атомов, ле- --(c)-(c)-(c)-@-(c)-(c)-(c)--
жащих на ребрах, входит только по
половине, а от лежащих на верши- I I I I I I I
нах -по четверти. АВ можно при- -(c)-(c)-(c)-(c)-(c)-(c)-е~-нять за единицу-. Тогда
!!!!!!!
4/2 4/4 , orion Рис. 1.6.2. Плоская ионная
сетка.
Однако это приближение грубое и надо учесть следующую квадратную группу
KLMN. Квадратная группа EFGH теперь считается вся целиком,
,4 !4 4 \ ! / 8/2 4/2 4/4 \ , ____
М2 =-------7=- + ( -jr=r---------- --7=-}= 1,6069.
\l V*) W 5 2 Vs)
Аналогично
М3 = 1,1716 + -т^\ = 1-6105,
5 2 V я] \ 3 /13 ю VlBj
М.-1,1716+0, ,635+({+^-i__L) +
VJ/17 j/25 4 У 20 К32)
101
В рационализированной системе единиц МКС
NMq* NK
Величину К можно г = г0:
