Задачи по физике твердого тела - Голдсмид Г. Дж.
Скачать (прямая ссылка):
*/(') = выразить
4лео г гп
из условия
минимума U (г) при
откуда
NMqа
4леп/-а о о
к-
Mq\
Л-1
У(Г0):
nNK
rn+ 1
О
NM q2
=o,
l-
4леоП ' w v uy 4jiE0r0
1.7. Пусть Z - число шаров, приходящихся на элементарную ячейку, Nt -
число шаров внутри этой ячейки, Nf - число шаров на ее гранях, Ne - на
ребрах, Nc - на вершинах ячейки. Тогда
1 .т , 1 ,, , 1 ,,
и доля заполненного пространства для кубической элементарной ячейки с
ребром а
F = Z- з-я
г*
а?
Значит, для примитивной кубической ячейки Z = 1, a = 2r, F = 0,524; для
объемноцентрированной кубической
Z = 2, а]ЛЗ = 4г, F = 0,680; для гранецентрированной кубической
Z = 4, ay"2 = 4r, F = 0,740;
для алмазной
Z = 8, aVr3 = 8r, F = 0,340.
Для решения задачи о тетраэдрическом расположении нужно найти объем,
вырезанный из малого шара тетраэдром, одна из
вершин которого лежит в центре этого шара. Удобнее всего это сделать,
воспользовавшись сферической тригонометрией и стереографической
проекцией. На рис. 1.7.1 показаны направления трех ребер тетраэдра,
расположенных по [110] и проходящих через центр этой сферы. Направление
[111] тоже является радиусом этой сферы и одной из осей симметрии
третьего порядка для тетраэдра.
Угол между [101] и [011] равен 60°, углы при вершинах А, В я С равны
70°32' каждый (как углы между гранями тетраэдра). Оставшаяся доля
сферического угла равна 3х(70°32')-180° = 31с36' и относительный объем,
вырезанный из сферы, равен 31,6/720 = 0,04389. Объем
Рис. 1.7.1. Стереографическая проекция ребер и граней тетраэдра.
102
тетраэдра с ребром а равен а3/6]^2 (см. задачу 1.3). Следовательно,
относительный заполненный объем в этом случае равен
1.8. Р222: всетри оси симметрии второго порядка пересекаются; Р2221: 2Х
пересекает и 2, и 2У\ 2Х и 2У между собой не
Р21212: винтовые оси второго порядка пересекаются между собой, ось 2 с
ними не пересекается;
Р212121: три винтовые оси между собой не пересекаются.
1.9. На рис. 1.9.1 приведены правильная система точек (а) и
соответствующая симметрия (б) для пространственной группы
Рис. 1.9.1. Схемы расположения правильных систем точек (а) и элементов
симметрии (б) для пространственной группы P2t/o.'
Р21/с. Показаны старые (для Р211с) оси и новые (для Р21/п)
оси афгсг. Видно, что
Матрица, обратная А, есть матрица преобразования 2-"-1 для осей или для
индексов. В нашем случае А~1 - А. Следовательно,
/АЛ /I о о\ /АЛ
i • у га-3 • 4 • 0,04389 -6^2 = 0,780.
пересекаются;
S)
Вектор bt направлен от плоскости чертежа на читателя.
а.2 = - - - fti* С2 -
поэтому матрица преобразования 1->2 имеет вид
отсюда li = h2-\- k, т. e. если на 1г накладываются условия четности для
существования ненулевого F, они накладываются также и на кг-{-1г.
1.10. При переходе к менее симметричной моноклинной син-гонии угол а
изменится так, что будет теперь отличаться от 90°, а это вызовет смещения
некоторых из дифракционных пятен. Межплоскостные расстояния d пятен hkl
задаются формулой
,2_ *2 k2 , I2__________Ш cos а
- а? ' b2 sin2 а 'с2 sin2 a be sin2 а
Очевидно, что четвертый член в этом выражении и вызывает различия между
d(hkl) и d(hkl) (или d(hkl)), которых нет в ромбической системе, где cosa
= 0.
Точно так же F (hkl) и F (hkl) (или F (hkl)) не равны в моноклинной
системе. Кроме того, F (OkO) с нечетным k отсутствует в ромбической
системе, но может присутствовать в моноклинной. Впрочем, все эти различия
очень малы. Например, а отличается от 90° примерно на 3'.
Еще можно вычислить синтез Фурье по (001) или (010). В моноклинном случае
проекции (pg) не центрированы, и непосредственное вычисление,
использующее измеренные F (hkl) без фазового фактора (т. е. отличающиеся
плюсом или минусом), приведет к двойному отображению, где действительная
структура окажется наложенной на центросимметричную отраженную. Таким
образом, если структура действительно моноклинная, то все пики на
диаграмме Фурье окажутся слегка раздвоенными.
На самом деле истинный переход несколько сложнее, потому что когда
температура, снижаясь, проходит через 24 °С, кристаллы двойникуются
(подробнее см. [46]).
1.11. Если начертить схемы эквивалентных точек, а по ним - схемы
расположения элементов симметрии, то можно увидеть, что пространственная
группа будет Ibam, ее иногда обозначают еще и как Icon [47].
Что касается систематических погасаний, то отражения обладают ненулевой
интенсивностью, если выполнены следующие условия.
Для отражений типа (hkl) h-\-k-{-l четное (объемноцентриро-ванная); для
(0kl) k четное, скольжение b перпендикулярно к а, поэтому и I четное (из-
за /), так что скольжение с перпендикулярно к а\ для (hOl) h четное,
скольжение а перпендикулярно к Ь\ поэтому I четное (из-за /), вследствие
чего скольжение с перпендикулярно к Ь\ для (hk0) h-\-k четное (из-за /),
поэтому скольжение п перпендикулярно к с; для (h00), (0k0), (00/)
соответственно h, k или I четные.
1.12. Для (hkl) нет общих погасаний; для (0kl) k четное, скольжение b
