Задачи по физике твердого тела - Голдсмид Г. Дж.
Скачать (прямая ссылка):
тт2 и 222 являются представлениями единственной оставшейся группы
четвертого порядка (vierergruppe) V или квадратичной группы Q,
обозначаемой иногда еще и как D2.
1.19. Имеем
F (hkl) = У\fn exp [2лi (hxn + kyn + lzn)].
П
Для ГЦК решетки
F = f{ 1 +exp [л/ (? + /)] +exp [л/ (h+ /)] + ехр [nt (/i + ?)]}.
где
ехр(лт)
*4-1:
если п четное, если п нечетное.
Если h, k, I разной четности, то две из сумм & + /, h + l, h-\-k
нечетные, а третья - четная. Следовательно, в этом случае F = 0. Если h,
k, /-все одинаковой четности, то F = 4f.
Для алмаза
F = / {1 + exp [л1 (k + /)] + exp [л/ (h + /)] + exp [ni (h + ?)]} +
+ / {exp [VzJti (h + k + /)] + exp [V2ni (h + 3k + 3/)] +
+ exp [Vam (3/i + ? + 3/)] + exp (3/i + 3k + /)]},
откуда
F = f{ 1 + exp [V2ni (h-\-k-\- /)]} {1 +ехр[л/ (? + /)] +
+ exp [л/ (/i + /)] + exp [nt (/i+ ?)]}.
108
Если A, к, l разной четности, то выражение во вторых фигурных скобках
равно нулю и f = 0. Если A, к, I все одинаковой четности, то могут быть
два случая:
а) A, k, I все нечетные, тогда суммы А + к + / нечетные и F = = / (1
dt i) ¦ 4 = 4/ (1 dt i), следовательно F2 = F • F* = 32/2;
б) A, k, l все четные, тогда при нечетных (А + /г + /)/2 первая скобка
равна нулю и F = 0, а при (h-\- к-\-1)/2 четных F = = /•2-4 = 8/.
1.20. "Пентагональными" классами будут:
5, 5, 5mm, 52m и 522
(не 5/т = 10 и не 5/ттт = 1 От).
"Октагональными" классами будут:
8, 8, 8/т, 8тт, 82т, 822 и 8/ттт.
1.21. Рассмотрим рис. 1.21.1. Здесь X - направление рентгеновского пучка,
АО - ось вращения, а окружность - экваториальное сечение сферы отражения.
Обычно радиус этой сферы считают единичным, здесь он равен а.
Искомый объем - это тот, который заметается площадкой ABCDO за вычетом
площадки OPAQ при вращении вокруг АО,
Рис. 1.21.1. Схема съемки рент- Рис. 1.21.2. Угловые соотношения
генограммы по Вейссенбергу. на рентгенограмме Вейссенберга.
потому что плоскости дают отражения, только если соответствующие им узлы
обратной решетки пересекают поверхность сферы отражения.
Удобно применить полярные координаты (г, 6). При вращении вокруг оси у
элемент объема равен произведению площади OMN на 2n-PG, где G -центр
тяжести треугольника OMN (см. рис. 1.21.2). Имеем
dV = у г2 de 2л у г cos 6 = у л г3 cos 6 dB, г -2а cos (fi - 6).
109
Подставляя значения г, проводя необходимые преобразования и интегрируя по
0, получим
V = па3 [20 cos |i + sin (20 - (i) + у sin (20 - 3(х) + - sin (40 -
3(i)j.
Нам требуется найти объем в пределах от 0 = 0 до 0 = х/гп + (х. Подставим
эти значения 0 в выражение для V и произведем вычитание. В результате
получим
Vi = л а3 |\л + 2|i) cos (i, + у sin (i, + ~ sin 3(ij
(для проверки: при (i = 0 V1 = n2a3, при |i = л/2 Vi = 0).
Чтобы получить значение |х, при котором достигается максимальное значение
Vlt продифференцируем и приравняем полученное выражение нулю. Получим
следующее трансцендентное уравнение:
2,5 cos (i, +1,5 cos 3|i -
- (л + 2|i) sin (i, = 0.
Приближенное решение этого уравнения даст значение |j, = 30°23'23". Объем
единичной полусферы Vt равен
Кг = |л(2а)=
На рис. 1.21.3 показан график зависимости V\/Vt от (х, откуда видно, что
пик довольно пологий; максимальное значение V\JVt равно 0,820845.
1.22. Период повторяемости вдоль [001] равен с. Если высота п-й слоевой
линии равна h, & радиус камеры г, то h/r = tga и n^ = csina. Отсюда с =
9,40 А. Так как а = 3,73 А, объемная диагональ тетрагональной
элементарной ячейки будет 10,78 А. По высоте слоевой линии находим, что
период повторяемости вдоль [111] равен 5,38 А. Оказывается, что эта
объемная диагональ равна удвоенному периоду повторяемости, значит,
решетка объемноцентрированная.
Лауэ-симметрия 4/ттт, следовательно, возможны следующие классы симметрии:
4тт, 42т, 422 или 4/ттт.
Z - р V/M = ра2с/М,
где М = (48 + 2 • 16) • 1,66 ¦ 10'24, т. е. Z = 4.
1.23. Прежде всего по измеренным расстояниям L надо вычислить значения
sin* 0,- используя соотношение L/r = 2л - 40. Тогда 9О°-0 = 3,183?.
110
Для образца А:
L во0 - е sin! 0 N hkl sin2 e
25,28 80,2 0,0290 2 110 0,0277
24,60 78,2 0,0418 3 111 0,04 Ц5
24,02 76,4 0,0553 4 200 0,0553
23,51 74,8 0,0688 5 210 0,0692
23,04 73,2 0,0835 6 211 0,0830
22,20 70,6 0,1102 8 220 0,1106
21,81 69,2 0,1260 9 300, 221 0,1245
21,45 68,2 0,1379 10 310 0,1383
21,10 67.0 0,1527 11 311 0,1521
20,76 66.0 0,1654 12 222 0,1660 .
20,43 65,0 0,1786 13 320 0,1798
20,11 64,0 0,1921 14 321 0,1936
19,48 62,0 0,2205 16 400 0,2212
19,21 61,0 0,2351 17 410, 322 0,2351
Столбец N = h? + &2 + Р получен из значений sin2 0, поскольку 7V =
4a2sinz0A2. Поэтому можно считать, что решетка примитивная (не
объемноцентрированная, поскольку тогда присутствовало быи N = 28). По
наибольшему значению угла 0 и а = = 6,576 А находим Я, = 1,55 А. В
последнем столбце приведены значения sin2 0, вычисленные для этой длины
волны.
Для образца В:
L (90 - 0)° sin1 0 N Ш sin2 0
23.94 76,2 0,0569 2 110 0,0568
22,09 70,4 0,1125 4 200 0,1135
