Задачи по физике твердого тела - Голдсмид Г. Дж.
Скачать (прямая ссылка):
о
fl1 = 1/2a( 1, 0, 1), Ь^агЦ!, -1, 1),
а2 = 1/2а( 1, 1, 0), b2 = a-l(l, 1, -1),
а3 = 11га(0, 1, 1), b3 = а-1 (- 1, 1, 1).
k = ^-(h + k-l, -h + k + l, h-k + t),
откуда
i
0 для h + k + l четных,
получим: >)= 16/а5, только б ближайших соседей на расстояниях гц=1/га и 8
векторов Л = 2л/о(±1, ri'1, ±1):
3А0 = 12^1 - Jexp {- s^dsj - exp ^Ч-8п-|;* - 3,5025.
Учитывал еще 12 соседей следующей (второй) координационной сферы при
Гц=Ч-а н 24 вектора Л =2п,'о (± 3, ± 1, ± 1), получим
*А"=
= 3,5025-12^1 - jj exp(-s*)dsj- j^exp(-^?} =3,4951.
3.12. На рис. 3.12.1 показаны зависимости от rjr. энергий Маделунга для
CsCl, NaCI и ZnS. Горизонтальные участки кривых соответствуют тем
областям, где rt для заданно;: структуры
3.13. Кулоковские силы притяжения, с которыми центральной нон А действует
на ноны В, вынуждают ионы В двигаться так, чтобы их центры лежали на
сфере радиуса гА + гц с центром в А. Так как нзждая из этих сил
уравновешивается соответствующим контактным давлением, то их можно не
рассматривать. Разложив силу, действующую на ион В в поле всех остальных
ионов, на тангенциальную и радиальную составляющие, увидим, что при
равновесии тангенциальная составляющая обращается в нуль. Кроме того,
хотя рздиальиая составляющая каждого отдельного иона В не должна быть
рзвна нулю, результирующая всех радиальных составляющих должна обратиться
в нуль. Заметим, наконец, что прн равновесии центр тяжести ионов в
совпадает с центром нона А.
а) Для того чтобы сумма радиальных составляющих енл, действующих на два
иона В, была рзвна нулю, ноны должны рас-
полагаться с противоположных сторон от центрального иона. Следовательно,
в этом случае равновесная конфигурация соответствует линейной молекуле.
б) Для того чтобы не было тангенциальных сил, действующих на Вх,
центры ионов В" и В3 должны лежать в плоскости, проходящей через центры А
и Вх, и, кроме того, угол а[ должен быть равен углу а! (рис. 3.13.1).
Повторяя это же рассуждение применительно к ионам В2 и В3, найдем,
что в положении равновесия центры Вг, В2 и В3
располагаются в вершинах равностороннего треугольника, впи-
санного в большой круг сферы, проведенной из точки А.
в) Тангенциальные силы, действующие на Вi и Вг (рис. 3.13.2),
возникающие из-за взаимного отталкивания этих двух ионов,
лежат в плоскости ABxB2 и являются зеркальными отражениями друг друга
относительно плоскости, проходящей через середину
Рис. 3.13.2. К расчету сил взаимодействия в модели жестких шаров.
отрезка ВЛВЪ перпендикулярно к нему. Для того чтобы эти тангенциальные
силы уравновешивались силами, действующими со стороны В3 и В4 на Вг и В2,
равновесные положения В3 и Bt должны удовлетворять одному из двух
условий: 1) они должны лежать в плоскости ABiB2 и быть зеркальными
отражениями друг друга относительно зеркальной плоскости, проходящей
между Bi и Вг, или 2) они должны лежать в зеркальной плоскости между fli
и и быть зеркальными отражениями друг друга относительно плоскости ABiBz.
Случай, соответствующий второму условию, показан на рис. 3.13.2.
Повторяя те же рассуждения относительно различных пар ионов В, мы
получим, что при равновесии ионы Blt Вг, В3 и В4 должны лежать или в
вершинах квадрата, вписанного в большой круг сферы с центром в А, или в
вершинах правильного тетраэдра, вписанного в эту сферу.
124
С другой стороны, так как центр тяжести ионов В совпадает с центром А, мы
для случая, показанного на рис. 3.13.2, имеем а = р. В этом случае легко
минимизировать полную энергию* отталкивания ? ионов В. Приняв гАВ за
единицу, находим:
г 12 = Г34 = 2 sin а,
Г13 = г14 = г23 = г.1Ь = (4 - 2 sin2а)*/..
Если каждый ион В обладает единичным зарядом, то
Очевидно, dM/da = 0 при cosa = 0 и при sin а = 1/2/3. В первом случае
ионы лежат в вершинах квадрата, а во втором случае - в вершинах
тетраэдра. Вычисляя энергии, соответствующие этим двум равновесным
значениям а, можно видеть, что тетраэдрическое расположение обладает
меньшей энергией и, следовательно, оказывается устойчивым.
3.14. а) В рамках нашей модели выражение для энергии молекулы состоит из
двух членов, зависящих от угла между связями, а именно: от энергии V
индуцированного диполя (иона А) в поле ионов В и от энергии отталкивания
W между ионами В.
1) Для молекулы АВг имеем
sin а (4-2 sin2 а)1/'
И
8 sin а cos а
da.
sin2 а
(4 - 2 sin2 a)I/,a
где е -заряд иона В. Из требования
получим
Можно легко проверить, что линейная молекула ^cos Y = oj устой
чива, только если а<глв/8.
2) Для молекулы АВ3 имеем
а / Зе \а
где у- Угол между связью А-В и осью симметрии молекулы. Из требования
+ _ е2 I у3 9и
, - I о I , -sin у)cos V = О
dy ГАВ\ sm2 v r'AB V r
получим
r, 1 1
cosv = 0 или sm3v = -----------.
3)/ 3 a
" 21^3 . В
Подставляя sinv = -^-sm^, найдем, что
sin{ = ^i, p = 120°, si".| = ^.
Опять-таки нетрудно видеть, что плоская молекула (Р = 120°) устойчива
только при a <rW8.
б) Для Н20 ао = 0,225 ¦ 10 24 с-и3; для NH3 aN = 0,247 ¦ 10 24 см3.
