Задачи по физике твердого тела - Голдсмид Г. Дж.
Скачать (прямая ссылка):
упругости является зависимость между термодинамическим потенциалом
(например, внутренней энергией на единицу массы U), с одной стороны, и
параметрами состояния, т. е. энтропией и компонентами деформации, - с
другой.
Поскольку компоненты деформации малы, то соотношение между U и
компонентами деформации при постоянстве энтропии можно записать с любой
желаемой степенью точности в виде разложения в ряд Тейлора. Такое
разложение имеет вид
U = Uo + (^)о, в ^ + У (""4*1*/ )0 ' '
где производные вычислены при условии постоянной энтропии. Члены,
линейные по деформациям, обращаются в нуль, так как состояние нулевых
деформаций есть состояние равновесия и энергия его минимальна.
Адиабатические константы упругости второго порядка по определению суть
с _ ( д'и \
Ц. kl Ро 1^ g^j д)]к1 ]0 ¦
145
При бесконечно малой деформации в членах второго порядка величину т\ij
можно заменить на eiy-, при этом допущении получаем
| S
РоU = PqU0 + СЧ. M&ifiki-
При условии постоянной энтропии основное уравнение термодинамики dU = Т
dS-\- dW сводится к dU - dW, и тогда из задачи 4,5 получаем для
бесконечно малых деформаций
pdU = Oijteij, или ог,7 = Р
Разлагая U в ряд, получаем
( dU \ s Ро у дги )s-cU.!^ki
(заметим, что каждая деформация входит дважды, а кроме того, по
определению, cij<kl = ckl<ij), т. е.
= с?/, ы Ъы
Ро
Поскольку из задачи 4.1 следует, что
рУо 1
Ро V (1 +Ец + Е22 + еЗз) '
и так как более высокими степенями е,у мы уже пренебрегли, то в членах
первого порядка это эквивалентно выражению
s
&ij = с(/, ы&ы¦
Итак, в данном приближении зависимость между напряжениями и деформациями
линейная.
4.7. Этот пример в различных учебниках трактуется по-разному.
Поучительно использовать для вывода основные определения
( д2и \
СЦ. kl - Ро ^ )0-
В общем случае, когда используются все девять компонент деформации, это
дает 81 константу. Впрочем, то, что т],-,-= rjy,-, уменьшает число
независимых компонент деформации^до шести, а число независимых упругих
констант -до 36. При этом обычно вводятся матричные обозначения, где не
различаются ij и ji. Такие комбинации заменяются следующим образом:
11->1; 22-"-2; 33->-3; 23, 32-^4; 31, 13->-5; 12, 21-^6,
что дает, например,
с11,11=сп'> с12, 23 (= с21, 23 И т- Д-)=С84-
Из определения ясно, что в матричном обозначении cmn - cnm.
Тем самым число независимых констант сводится с 36 до 21;
146
столько констант имеет твердое тело, не обладающее никакой симметрией.
Для вещества, имеющего кубическую кристаллическую структуру, существуют
дополнительные соотношения. Основное свойство кубического кристалла - это
то, что направления ±1, ±2, ±3 взаимно перпендикулярны и полностью
эквивалентны; т. е., например, вторая производная от U по г]п такая же,
как и по т)22 и по т]зз, а отсюда
С11 = С22 = С33-
Точно так же производная от dU/dт)п по т|22 равна производной от dU/d)122
по Ли в равновесной конфигурации, т. е.
С12 = С23 = С31 = С21 и Т.Д.
Аналогично
с44 = с56 = с0в>
а также
C14==C25 = C3B и Т. Д.,
С45 = с38 = Св 4 И Т.д.
Рис. 4.7.1. К индицирова-нию по осям.
Последние соотношения можно исследовать и дальше. Рассмотрим, например,
с46. Будем рассматривать исходный куб и произведем деформацию ^(Лв) и
'Пгз(т14). а все остальные компоненты положим рав- г
ными нулю. В результате изменятся только углы 612 и 623 (см. задачу 4.2).
Ясно, что вращение, например, оси 2 относительно направления 1 полностью
эквивалентно ее вращению относительно направления -1 (рис. 4.7.1), и при
одинаковых сдвигах будет затрачиваться одна и та же работа. Иначе говоря,
изменение энергии dU при изменении dr)12 не зависит от знака г]12. Это
значит, что в равновесной конфигурации dU/d)112 = 0, т. е. U как
функция г]12 принимает экстремальное значение. То же самое имеет место и
для i]n3. Если произведены обе деформации, то можно записать для случая
малых деформаций
Ясно, что если ось 2 вращается относительно -\-1 (dr]12 положительно), а
затем относительно + 3 (dr)23 положительно), то это полностью
эквивалентно случаю, когда ось 2 вращается относительно оси -1 (d>ii2
отрицательно), а затем относительно 3. Таким образом, в обоих случаях
получается одно и то же значение dil. При замене знака dr\12 первые два
члена не изменятся,
147
зато последний изменит знак. Следовательно, этот член должен быть равен
нулю, откуда
?"б= О-
Аналогичные рассуждения приводят к выводу, что для кубического кристалла
Сц = С22 = С33, С12 = С23 = С31, С44 = С55 = Св6,
а все остальные компоненты равны нулю, что дает три независимые
компоненты.
4.8. Эту и следующую задачи лучше всего разобрать, введя отнесенный к
единице массы потенциал Гиббса G:
G = U - TS - - atfiU, dG = - SdT- - E1!doii. (4.8.1)
Ро ' ' Ро 1 ' ' '
Он выражает состояние твердого тела в независимых переменных Т и а и.
Зависимые переменные 5 и ег/ задаются как
5=-$¦)<">' ie"=-(•*!).¦¦ <4-8-2*
Так же, как мы поступали для внутренней энергии в задаче 4.6, функцию
Гиббса можно разложить в степенной ряд по переменным Д7\ dij, которые
