Задачи по физике твердого тела - Голдсмид Г. Дж.
Скачать (прямая ссылка):
W(k, ц, ф) = адл!01)Ф(ф) a R в
(3.19.6) Рис- 3.19.2. К уравнению (3.19.7)
в параболических координатах к, ц., ф с центром в А. Из
рис. 3.19.2 видно, что при R-*~ оо
f__ra-\-Tb 1 I 'а О COS 0) . - %
R R ~ 1 ~T-R '
" Га - гь , , ra(l+cos0) _ , , ц (3.19.7)
1 R ^ R ' R '
q>-yq>.
5 Задачи no физике 129
Если ri}., Пц и Пф - квантовые числа узловых поверхностей L (к) = = 0,
М([х) = 0, Ф(ф) = 0 соответственно, то получим, кроме того (см. уравнение
(3.19.2)),
Л = Л,. + Л^ + Лф + 1,
(3.19.8)
где л -главное квантовое число, соответствующее состоянию
Чтобы установить связь между ль лц, л<р, с одной стороны, и лЕ, пЛц,, с
другой, надо только рассмотреть положение узловых поверхностей по
отношению к плоскости, проходящей через середину оси молекулы. Все
узловые поверхности, лежащие целиком на той же стороне, что и протон В, и
принадлежащие к семейству поверхностей У(т)) = 0, стремятся к
бесконечности при В->- оо. Более того, если лч нечетно, то плоскость,
проходящая через середину оси, сама и есть узловая поверхность Y (г]) = =
0 и тоже уходит в бесконечность. Отсюда имеем
Все остальные узловые поверхности при R -> оо отстоят от А на конечное
расстояние, т. е.
Из уравнений (3.19.8), (3.19.9) и (3.19.10) получается третий столбец
табл. 3.19.1, задающий связь между молекулярными состояниями и
состояниями разделенных атомов.
3.20. Чтобы найти значение нормирующей константы А, нужно вычислить
интеграл
причем интегрирование включает суммирование по двум возможным состояниям
спина каждого электрона.
Пусть Р и Р' - два оператора, меняющие порядок электронов среди л функций
ф/, и пусть р и р' - четности соответствующих перестановок. Используя эти
символы, получим
Поскольку функции ф; предполагаются ортонормированными, т. е.
W(k, |х, ф).
(3.19.9)
пл = лс, лц = Лц, = [ m |.
(3.19.10)
J Ф*Ф dx
5 Ф*Ф dx = J ^ 2 (- I)P+P' Р К (Ti)... Ф* (т")] X
Р Р'
X Р' [ф! (ti)... ф" (т")] dx. (3.20.7)
130
J Ф?Фj dxt dx, = Ьц,
то уравнение (3.20.7) легко сводится к виду $ф*ф^т =
= X $ Р [ф* (Tl) Ф1 (Tl) Ф* (т2) Ф2 (Т2) ¦ ¦. фй (Тл) Фя (т")] dx = nl.
откуда
V л!
3.21. Из двух координатных функций а и Ь и двух спиновых функций а и Р
можно образовать определители:
Tjrtza -
4# Р = грър _ ЦГРа =
0(1
6(1
0(1
Ml
0(1
6(1
0(1
6(1
а ((П 6 (2)" (2) | = ["(D & (2) - & (1)а(2)]а(1) а(2), Р (1) о (2) Р (2)
Р (1) * (2) р (2)
а(1) а (2) а (2)
Р (1) * (2) р (2)
(5(1) о(2) р (2) а(1) 6 (2) а (2)
= [а (1) Ь(2) - Ь(\)а (2)] Р (1) Р (2),
= а (1) 6 (2) а(1) р (2) - 6 (1) а (2) а(1)Р(2), = а (1) Ь (2) р (1) а
(2) - Ь (1) а (2) а (1) р (2).
Две из этих функций, и 4W, уже имеют вид (3.21.3). Что же касается и
то для получения их в нужном виде
придется образовывать линейные комбинации. Легко найти, что T^ + VP" =
[fl(1)&(2)-&(l)fl(2)][a(l)P(2) + P(l)a(2)]t до _ ф* = [а (j) ь (2) + Ь
(1) а (2)] [а (1) р (2) - р (1) "* (2)].
Чтобы показать, что спиновые функции
Х" = а(1)"(2), хрр = Р(1)Р(2),
Х№ = а(1)Р(2) + Р(1)а(2), х"Р-Р" = а (1) Р (2) - р (1) а (2)
являются собственными функциями |S|2, нужно просто подействовать на них
оператором jS 2.
Воспользовавшись соотношениями (3.21.5) и (3.21.6), получим
IS |2 = Sx + Sy + Sz = (sXl +sXj)2 + (syi + syJ2 + (s2l + s2j)2,
откуда непосредственно следует, что
j S |2 yOO. _ 2tfxa, j S !2%PP = 2xPP,
| S i2 = 2x"P+P", | S j2 x"p p" = 0.
Более того, легко проверить, что
S,Xa" = X*". S,xpp = -XPfJ. Sztf*+P*=0, S,xaP-P" = 0.
3.22. Комбинируя координатную волновую функцию a-\-b с двумя спиновыми
функциями аир, получим [а (I) + 6 (I)] а (1) [а (2)+ 6 (2)] а (2)
[а(1) + 6(1)]Р(1) [о(2) + 6(2)]р(2)
= [а(1)6(2) + &(1)а(2) + а(1)а(2) + 6(1)&(2)] X
X [а (1) Р (2) - Р (1) а (2)]. 5* 131
Ф
За исключением членов а(1)а(2) и b(\)b(2), эта функция совпадает с
функцией Гайтлера - Лондона (включающей спины) исходного состояния Нг
(см. задачу 3.21). Два дополнительных члена соответствуют одновременному
присутствию обоих электронов или в окрестности протона А или в
окрестности протона В. Поэтому они часто называются ионными членами. Из-
за того, что энергия ионизации атома водорода велика по сравнению с
энергией электронного сродства, ионные члены существенны только при малых
межъядерных расстояниях, когда каждый электрон сильно взаимодействует с
обоими протонами.
3.23. Гибридные волновые функции можно записать в виде:
h± = as + bxpx + byPy -}- bzpz,
где a, bx, by, bz - безразмерные параметры. Так как s-функция сферически
симметричная, направленность возникает из-за p-функций, которые из-за их
неизменности при преобразовании координат ведут себя как векторы,
направленные по х, у и г. Поэтому коэффициенты p-функций пропорциональны
направляющим косинусам 11л тх, nlt т. е.
hi = as + b {kpx + miPy + лхр,).
Эквивалентная гибридная волновая функция вдоль второго направления
/2,т2,"2 будет
lh = as + b (l2px + т2ру + n2pz).
Так как атомные функции ортогональны и нормированы, a l\ -f-+ т] + "i=l,
то, нормируя hi, получим
