Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Голдсмид Г. Дж. -> "Задачи по физике твердого тела " -> 51

Задачи по физике твердого тела - Голдсмид Г. Дж.

Голдсмид Г. Дж. Задачи по физике твердого тела — Наука, 1976. — 432 c.
Скачать (прямая ссылка): zadachipofiziketverdogotela1976.pdf
Предыдущая << 1 .. 45 46 47 48 49 50 < 51 > 52 53 54 55 56 57 .. 147 >> Следующая


2s
(1) AJ1)__________________Лы(1) О)
Свободный Почти ^ Расщепле/н/е Изолирован-
ллектрон свободный в нристал//а- ный свобо&~
электрон честм паяе ныЗ атом
----------^
/Ьтенцааяреагетна Рис. 3.27.1. Потенциал плоских волн в возмущенном
кристалле.
Искомые характеры можно найти, рассматривая результаты действия каждой из
типичных операций класса Од на группу или розетку /(-векторов, подобно
тому как мы находили представления гибридных волновых функций в задаче
3.24. Получаемая таблица характеров такова:
Он Е 8С3 6 С* 3CJ 6С2 ? 8Se 6S* ЗстЛ 6CTrf
(ООО) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ' 1
(100) 6 0 2 2 0 0 0 0 4 2
(110) 12 0 0 0 2 0 0 0 4 2
(111) 8 2 0 0 0 0 0 4 0 0
139
Затем эти представления выражаются через неприводимые представления
группы 0Л следующим образом:
(ООО) Alg (НО) Alg-j-Es + Tia + T2g + T2U
(100) Ai_"-\-Eg-\-T-LU (111) Alg-\- Tlg + A2u-\- T1u
По этим результатам, а также по сведениям, полученным из задачи 3.26,
можно начертить схему расщепления уровней энергии для случаев слабой и
сильной связи, пользуясь правилом непересечения. Это правило гласит, что
линии, соединяющие между собой состояния одинаковой симметрии, не должны
пересекаться.
Эта схема изображена на рис. 3.27.1.
4. Упругость кристаллов
4.1. Компоненты тензора бесконечно малой деформации по определению равны
_ Wjty дик\
Е/* 2 V дак ' да,- ) '
В этом примере Ui = a 1;а,- и, следовательно,
efk = ~2 ("/* + "*/)¦
Рассмотрим один из векторов /у, например Д. По определению он соединяет в
исходном состоянии точки (0, 0, 0) и (1, 0, 0). Координаты этих точек в
деформированном состоянии, полученные из деформационного соотношения,
соответственно будут (0, 0, 0) и (1+аи, а21, a3i), т. е. компонентами i[
являются (l + au, a2i, a31). Точно так же
h = (ai2> азг)' h ~ ("13, a23, 1+Изз)-
Искомый результат получим, полагая irik = bjk. При j = k скалярное
произведение i)-i) есть квадрат длины вектора i) в деформированном
состоянии, если первоначальная длина ij-ij была единичной. Отсюда
следует, что, пренебрегая произведениями а,7, получим
1 +2а/;= 1 -\-2njj (по / не суммировать),
и следовательно,
I h I= (1 + 2а/;)1 /2 = 1 + "// = 1 + Еуу = | if | + Ец.
Таким образом, в этом приближении еуу -это удлинение на единицу длины в
/-м направлении.
Для произведений вида i\ ¦ в том же приближении имеем
i\ ¦ ii = ( 1 -j- ОСц) 0ti2 + ^21 (1 + а2г) Ч" а31а32 = а12 "Г а21 =
2Ei2.
140
С другой стороны,
/; ¦ i'i = i /; 11 /; | cos e12,
где 012 -угол между и Ц. Таким образом, пренебрегая высшими степенями,
получим
COS 0J2 = 26^2"
или
я 1
°12 - у л - Ф12-
ф12 есть изменение угла между /\ и /2, измеренное в направлении 1->-2.
Тогда
sin ф12 = 2ei2.
Поскольку ср12 мало, то можно записать: cpi2 = 2e12, т. е. 2е12 - это
изменение в результате деформации угла между материальными векторами в
направлениях 1 и 2, измеренное в направлении 1 ->-2.
Все предыдущие рассуждения легко обобщить на случай векторов произвольной
длины.
Для задачи об объеме рассмотрим исходный куб, построенный на векторах /lt
i2, i3. Начальный объем Vu равен единице. Конечный объем будет объемом V
параллелепипеда, образованного векторами i[, ii'3. Площадь его основания
в нашем приближении будет равна
I i\! I *'21 sin 012 = (1 -f- en) (1 -f- бгг) cos ф12 = (1 -|- Ец) (1 -|-
е12),
высота его равна 1+е33, т. е. конечный объем (пренебрегая произведениями
е;у) можно записать в виде
V = 1 -|- ец -|- е22 + 633.
Это рассуждение легко обобщить на любые другие объемы.
4.2. Компоненты тензора конечных деформаций определены
как
2т]jh = J pjJ pk бjh (Jpj = dXp/dcij).
В нашем случае JPj = dPj + aPj. Например,
</ц= 1 +аИ, ^12 = а12 и т- Д-.
или
2т]ц = i/fi -f- i/ji -(- J?u - 1 = (1 + "11)2 + "li + "si - 11 21112 =
^11^12 + ^21^22+ ^31^32 = (1 "Ь "ll) а12 "Ь а21 О "Ь а2г) "Ь а31а32-
Рассмотрим один из заданных векторов, скажем, сг. В начальном состоянии
он связывает точки (0, 0, 0) и (сь 0, 0). Для
141
заданного выражения деформации конечные положения этих точек будут (0, 0,
0) и (Ci + auclt a2iCi, ос31сг). Таким образом,
^1 =Ci (1 + "ш &21t (r)3l).
Ь2~С2( 0^121 1 "Ь (r)22 > а3г) I
^3 - с3 ( a13i a23i 1"ЬаЗз)-
Отсюда, например,
b1-b1 - cl-c1 = c\[(l+ au)2 + aj, + aj, - I ] = с? ¦ 2nn,
bx b2 - Cl C2 = cxc2 [ (1 + an) a12 + "21 (1 + "22) + a3i*32 - 01 =
= ]l2i
что и требовалось доказать.
Для задачи об изменении объема можно взять Ci единичной длины. Тогда
первоначальный куб переходит в параллелепипед, построенный на векторах
Ьх, Ь2, Ь3. Его объем задается в следующем виде:
1 + "11 "21 "31 ^1 1/
V = Ьг Ь2 х Ь3 = СС]о 1 +*22 "32 = J12 ¦^¦22 ¦^32
а1Э а23 1 +"ЭЭ Аэ аз J ЭЭ
Из свойств детерминантов и определения i\jk следует, что
1 + 2t]ii 2т)|3
2т]и ^ I
2т|э1 2т]га
2т}Э1
2 Пг
ВЗ
1 + 2т)зз
4.3. Пусть ря и рЦ -векторы, соединяющие 5-й атом с п-м атомом
соответственно в недеформированной и деформированной конфигурациях.
Тогда, например,
1 1 1 Pi------------4" С1 -4 с2---------------4 Сз,
Предыдущая << 1 .. 45 46 47 48 49 50 < 51 > 52 53 54 55 56 57 .. 147 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed