Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Голдсмид Г. Дж. -> "Задачи по физике твердого тела " -> 55

Задачи по физике твердого тела - Голдсмид Г. Дж.

Голдсмид Г. Дж. Задачи по физике твердого тела — Наука, 1976. — 432 c.
Скачать (прямая ссылка): zadachipofiziketverdogotela1976.pdf
Предыдущая << 1 .. 49 50 51 52 53 54 < 55 > 56 57 58 59 60 61 .. 147 >> Следующая

и = А ехр[i (at -к-г)],
151
где со - циклическая частота, a ft -волновой вектор. Вектор ft направлен
по нормали к фронту волны и в этом случае может быть записан как kix, где
Д -единичный вектор в направлении оси 1. Поскольку r = apip, то
Отсюда следует, что из всех производных от компонент и отличны от нуля
только производные по аг. Таким образом, уравнения принимают вид
Учет ограничений, налагаемых на ciliml кубической симметрией, дает
Решениями этих уравнений будут
u = u1i1 = A1i1 ехр \m[t - (ai/t>i)]}, "1 = Усп/р0,
и = u2i2 = A2i2ехр {г'ш [/ - (ai/a2)]}, v2 = Ус44/р".
Из-за идентичности уравнений для и2 и и3 любое перемещение вида и = u2i2-
\-u3i3 удовлетворяет этим уравнениям. Эти смещения поперечны по отношению
к направлению распространения волны. Решение для их соответствует
продольной волне.
б) Для случая распространения в направлении [110] решение имеет вид
здесь V - скорость. Из всех производных от компонент и отличны от нуля
только производные по ах и а2. Таким образом, уравнения примут вид
и = А ехр [г (со/ - kaj].
или
ш2
Ро jp" Щ - ?fl,
ДЛЯ I = 1 Po^Hi =
для г = 2 раагы2 = с44ы2,
для г = 3 р0агЫэ = Сци3,
где v = У ы/k - скорость.
а = А ехр [i (ш/ - ft ¦ г)],
где k = k(il + iiiiy2, т. е.
Третье из них дает нам решение
и = u3i3 = Sv/3exp j^ico (t -
где v3 = У Сц/po - скорость поперечной волны, поляризованной в
направлении [001].
Первые два уравнения решить непосредственно нельзя, но если решать их
совместно, то, очевидно, придем к двум решениям:
(1) u! = u2= Л4ехр[ш^-^|Д;
здесь
Vi =f/r
С11 + с12 + 2сл 4 2ро
Это решение определяет волну, у которой все смещение направлено вдоль
[110], т. е. волна продольная.
(2) и2 = - и1 = Л6ехр
где
Vt = yr-
С11~С12
2р0
Все смещения, следовательно, направлены по [ПО], т. е. это волна
поперечная.
5. Тепловые свойства кристаллической решетки
5.1. Хорошим приближением для описания колебательных свойств твердых тел
служит модель Дебая. В ней принято, что число частот, заключающихся в
промежутке от v до \-\-dv, пропорционально V2. Поэтому распределение
частот может быть записано в виде
G (v) = aDvг, v < vm, j. - -
G (v) = 0, v>vm,
что в сумме дает
vm
\ G (v) d\ = 3N (5.1.2)
о
(N - число всех атомов). Если распределение (5.1.1) подставить в
выражение для теплоемкости, полученное из квантовой статистики:
где Xj = hvj/kT, то получим
* = &• (S.1.4)
о
Здесь 0 - дебаевская характеристическая температура (0 = h\Jk).
Если бы модель Дебая вполне соответствовала действительности, то
единственный параметр 0 был бы одним и тем же для всех кристаллов, а
уравнение (5.1.4) было бы универсальным соотношением. В ответах на
некоторые дальнейшие задачи будет показано, что на самом деле значения 0
могут отличаться от экспериментальных значений температуры Дебая вплоть
до 30%. Значения Cv/3Nk даны в табл. 5.1.1.
Таблица 5.1.1
9/Т 0,0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0,7 0.8 0.9
0 1,0000 0,9995 0,9980 0,9955 0,9920 0,9876
0,9822 0,9759 0,9687 0,9606
1 0,9517 0,9420 0,9315 0,9203 0,9085 0,8960
0,8828 0,8692 0,8550 0,8404
2 0,8254 0,8100 0,7943 0,7784 0,7622 0,7459
0,7294 0,7128 0,6961 0,6794
3 0,6628 0,6461 0,6296 0,6132 0,5968 0,5807
0,5647 0,5490 0,5334 0,5181
4 0,5031 0,4883 0,4738 0,4595 0,4456 0,4320
0,4187 0,4057 0,3930 0,3807
5 0,3686 0,3569 0,3455 0,3345 0,3237 0,3133
0,3031 0,2933 0,2838 0,2745
6 0,2656 0,2569 0,2486 0,2405 0,2326 0,2251
0,2177 0,2107 0,2038 0,1972
7 0,1909 0,1847 0,1788 0,1730 0,1675 0,1622
0,1570 0,1521 0,1473 0,1426
8 0,1382 0,1339 0,1297 0,1257 0,1219 0,1182
0,1146 0,1111 0,1078 0,1046
9 0,1015 0,0985 0,0956 0,0928 0,0901 0,0875
0,0850 0,0826 0,0803 0,0780
10 0,0758 0,0737 0,0717 0,0697 0,0678 0,0660
0,0642 0,0625 0,0609 0,0593
11 0,0577 0,0562 0,0548 0,0534 0,0520 0,0507
0,0495 0,0482 0,0470 0,0459
12 0,0448 0,0437 0,0427 0,0416 0,0407 0,0397
0,0388 0,0379 0,0370 0,0362
13 0,0353 0,0346 0,0338 0,0330 0,0323 0,0316
0,0309. 0,0302 0,0296 0,0290
14 0,0284 0,0278 0,0272 0,0266 0,0261 0,0255
0,0250 0,0245 0,0240 0,0235
15 0,0231 0,0226 0,0222 0,0217 0,0213 0,0209
0,0205 0,0201 0,0197 0,0194
16 0,0190 0,0187 0,0183 0,0180 0,0177 0,0173
0,0170 0,0167 0,0164 0,0161
17 0,0159
18 0,0134
19 0,0114
20 0,00974 с" = 77,93 [Т \з 0
21 0,00841 3Nk (в) при у >24
22 0,00732
23 0,00640
24 0,00564
Для решения данной задачи следует найти 0 с помощью табл. 5.1.1,
используя приведенное в условии значение С" при
154
100°С, а затем, считая 0 постоянной, рассчитать величину Cw для - 100°С.
Получаем: при - 100 °С Cv = 5,2 дж/г-атом-град. Вероятную точность ответа
оценить нельзя, поскольку ничего не известно
о действительном распределении частот в кристалле.
5.2. Дебаевское распределение (5.1.1) можно подставить в уравнение
квантовой статистики для энтропии диэлектрика
3JV ЗЛГ
S = ky -41-------k У In (1 (5.2.1)
; i e'~l ~
После подстановки получим
е/г
WF=^\~e) ^ ^ In (1 е ¦*)] djc. (5.2.2)
Предыдущая << 1 .. 49 50 51 52 53 54 < 55 > 56 57 58 59 60 61 .. 147 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed